축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
막대가 강철 구간(지름 20 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 200 mm, E = 100 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.25 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø60 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
2.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 25 kN구간 1: Ø35 mm, 1 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø20 mm, 2 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)
δ = mm
3.축의 비틀림보통
황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 500 N·md = 40 mmL = 0.8 mG = 39 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 300 rpm에서 30 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 50 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 30 kWN = 300 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
30 kN @ 6 m10 kN @ 4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 2 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 사이의 최대 정(正) 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.
L = 6 mw = 2 kN/m, 0부터 6 m까지x = 0과 x = 4 m에 지점
Mmax = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 100 mmtf = 30 mmtw = 10 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
120 mm × 240 mm 판에 폭 50 mm, 높이 20 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 168 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 120 mmh = 240 mm절취부: 50 × 20 mm구멍 중심: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −30 MPa, σᵧ = 10 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.
σx = −30 MPaσy = 10 MPaτxy = 40 MPa
θp = °
10.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −40 MPa, σᵧ = −60 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 35° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.
σx = −40 MPaσy = −60 MPaτxy = 40 MPaθ = 35°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가, 자유단에 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.
P = 12 kNw = 4 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (강철)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
폭 75 mm의 직사각형 단면 목재 단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 처짐은 경간/250을(를) 넘을 수 없다. 단면의 최소 높이 hreq을(를) 구하시오.
w = 3 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (구조용 목재)b = 75 mm
hreq = mm
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 60 mm
σcr = MPa
3용액
1.축 응력과 변형률
답: P = 24.37 kN
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
A₁ = 314.2 mm², A₂ = 2827 mm²
유연도
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314.2) = 9.549 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·2827) = 7.074 × 10⁻⁷ mm/N
하중
P = 0.25/1.026 × 10⁻⁵ = 24374 N = 24.37 kN
답
P = 24.37 kN
2.축 응력과 변형률
답: δ = 2.533 mm
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 25.98 MPa
σ2 = 79.58 MPa
구간별 늘음량 더하기
δ1 = σ1L1/E1 = 25.98·1000/100000 = 0.2598 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 79.58·2000/70000 = 2.274 mm
δ = δ1 + δ2 = 2.533 mm
답
δ = 2.533 mm
3.축의 비틀림
답: φ = 2.338 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(39000·251327) = 0.04081 rad
φ = 0.04081·180/π = 2.338°
답
φ = 2.338°
4.축의 비틀림
답: d = 45.99 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 30000/31.42 = 954.9 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·954930/(π·50)) = 45.99 mm
답
d = 45.99 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: D (x = 6 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 21.67 kN, R2 = 18.33 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = 43.33, MC = 86.67, MD = 110 kN·m, ME = 73.33, MF = 36.67, MG = 0
답
표시점 D: MD = 110 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mmax = 2.25 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·4 = 2·6·3
RB = 36/4 = 9 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 9 = 3 kN
전단력 0
RA − w·x0 = 0 → x0 = 3/2 = 1.5 m
최대 정모멘트
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 3²/(2·2) = 2.25 kN·m
답
Mmax = 2.25 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 17.49 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 100·30 = 3000 mm², yf = 180 + 30/2 = 195 mm
웨브: Aw = 10·180 = 1800 mm², yw = 180/2 = 90 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3000·195 + 1800·90)/4800 = 155.6 mm
평행축 정리
플랜지: 100·30³/12 + 3000·(195 − 155.6)² = 4.876 × 10⁶ mm⁴
웨브: 10·180³/12 + 1800·(90 − 155.6)² = 1.261 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4.876 × 10⁶ + 1.261 × 10⁷ = 1.749 × 10⁷ mm⁴ = 17.49 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 17.49 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 135.8 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (28800·120 − 1000·168)/(28800 − 1000) = 118.3 mm
ȳ에 대한 전체 판
120·240³/12 + 28800·1.727² = 138.3 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
50·20³/12 + 1000·49.73² = 2.506 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 135.8 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 135.8 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환
답: θp = 58.28 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.
2θp = atan2(2·40, −30 − 10) = 116.6°
요소에서의 각도
θp = 58.28°
답
θp = 58.28°
반시계 방향 각도가 양입니다.
10.모어 원과 응력 변환
답: σθ = −8.992 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
σθ = −50 + 10·0.342 + 40·0.9397 = −8.992 MPa
답
σθ = −8.992 MPa
11.보의 처짐
답: δ = 7.196 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 12000 N, w = 4 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
각 하중을 따로
δP = PL³/(3EI) = 12000·2500³/(3·1.14 × 10¹³) = 5.482 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 4·2500⁴/(8·1.14 × 10¹³) = 1.713 mm
더하기
δ = 5.482 + 1.713 = 7.196 mm
답
δ = 7.196 mm
12.보의 처짐
답: hreq = 156.5 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 3 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²
처짐 한계
δallow = L/250 = 3000/250 = 12 mm
필요한 단면 2차 모멘트
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·3000⁴/(384·11000·12) = 2.397 × 10⁷ mm⁴
필요한 높이
bh³/12 = Ireq → h = (12·2.397 × 10⁷/75)1/3 = 156.5 mm
답
hreq = 156.5 mm
실무에서는 이 값보다 큰 다음 표준 높이를 고릅니다.
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 14.5 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/3500² = 14502 N = 14.5 kN
답
Pcr = 14.5 kN
14.기둥의 좌굴
답: σcr = 6.218 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·5000 = 5000 mm
KL/r = 5000/15 = 333.3
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/333.3² = 6.218 MPa
답
σcr = 6.218 MPa
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