재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
80 kNØ30100 GPaØ120/50800 mmδ = ?

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 50 mm, E = 100 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 800 mm이며 강체 판 사이에서 80 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 80 kN막대: Ø30 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
80 kN12300 mm400 mmØ25Ø60σ2​ = ?

강철 구간(지름 25 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 400 mm, E = 100 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 80 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
3.축의 비틀림보통
d = ?T = 1500 N·mL = 1.2 m

길이 1.2 m인 속이 찬 알루미늄 축이 토크 1500 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 0.5°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

T = 1500 N·mL = 1.2 mG = 26 GPaφallow = 0.5°
d = mm
4.축의 비틀림어려움
do​ = ?20 kW, 1000 rpm

중공축이 1000 rpm에서 20 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.75배로 하고, 전단 응력은 50 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.

P = 20 kWN = 1000 rpmdi/do = 0.75τallow = 50 MPa
do = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
8 kN/m60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

60 kN @ 8 m8 kN/m, 4–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
8 kN/m50 kN50 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

50 kN @ 6 m50 kN @ 3 m8 kN/m, 0–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
1401014012x치수 단위: mm

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

bf = 140 mmtf = 10 mmtw = 12 mmhw = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
2202020010xM = 25 kN·m치수 단위: mm

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 25 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ아래을(를) 구하시오.

bf = 220 mmtf = 20 mmtw = 10 mmhw = 200 mmM = 25 kN·m
σ아래 = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 160σy​ = −70τxy​ = 30MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 160 MPa, σᵧ = −70 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σx = 160 MPaσy = −70 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 60σy​ = 30τxy​ = 10MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 60 MPa, σᵧ = 30 MPa, τₓᵧ = 10 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 20° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.

σx = 60 MPaσy = 30 MPaτxy = 10 MPaθ = -20°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
P = 21 kNABδ2 m6 m

단순보의 지점 A에서 a = 2 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 하중 아래의 처짐 δP을(를) 구하시오.

P = 21 kNa = 2 mL = 8 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.보의 처짐어려움
w = 10 kN/mAB6 m

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. EI는 일정하다. 받침의 반력 RB을(를) 구하시오.

L = 6 mw = 10 kN/m
RB = kN
13.기둥의 좌굴보통
PL = 3 m30 × 100 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
P = 75 kNL = 2.5 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 75 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 75 kNn = 2L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)
d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.05948 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·9346 = 1.076 × 10⁹ N

줄어든 길이

δ = 80000·800/1.076 × 10⁹ = 0.05948 mm

답

δ = 0.05948 mm
2.축 응력과 변형률

답: σ2 = 19.34 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·490.9/300 = 327249 N/mm
k₂ = 100000·2827/400 = 706858 N/mm

구간 2의 몫

F2 = 80000·706858/1.034 × 10⁶ = 54684 N

응력

σ2 = 54684/2827 = 19.34 MPa (압축)

답

σ2 = 19.34 MPa
3.축의 비틀림

답: d = 94.81 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

필요한 극관성 모멘트

T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 0.5·π/180 = 0.008727 rad
J = TL/(Gφ) = 1.5 × 10⁶·1200/(26000·0.008727) = 7.933 × 10⁶ mm⁴

지름

d = (32J/π)1/4 = 94.81 mm

답

d = 94.81 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

4.축의 비틀림

답: do = 30.53 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 20000/104.7 = 191 N·m

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 191 N·m = 190986 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·50·0.6836)) = 30.53 mm
di = 0.75·30.53 = 22.9 mm

답

do = 30.53 mm

속이 찬 축이라면 d = 26.89 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 8 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 36 kN, R2 = 56 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 72, MC = 144, MD = 200, ME = 224 kN·m, MF = 112, MG = 0

답

표시점 E: ME = 224 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 4 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 3.5 kN, R2 = 128.5 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = −0.5, MC = −9, MD = −25.5, ME = −100 kN·m, MF = −50, MG = 0

답

표시점 E: ME = −100 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 7.051 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 140·10 = 1400 mm², yf = 140 + 10/2 = 145 mm
웨브: Aw = 12·140 = 1680 mm², yw = 140/2 = 70 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1400·145 + 1680·70)/3080 = 104.1 mm

평행축 정리

플랜지: 140·10³/12 + 1400·(145 − 104.1)² = 2.355 × 10⁶ mm⁴
웨브: 12·140³/12 + 1680·(70 − 104.1)² = 4.696 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.355 × 10⁶ + 4.696 × 10⁶ = 7.051 × 10⁶ mm⁴ = 7.051 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 7.051 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ아래 = 187.2 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 220·20 = 4400 mm², yf = 200 + 20/2 = 210 mm
웨브: Aw = 10·200 = 2000 mm², yw = 200/2 = 100 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4400·210 + 2000·100)/6400 = 175.6 mm

평행축 정리

플랜지: 220·20³/12 + 4400·(210 − 175.6)² = 5.346 × 10⁶ mm⁴
웨브: 10·200³/12 + 2000·(100 − 175.6)² = 1.81 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5.346 × 10⁶ + 1.81 × 10⁷ = 2.345 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.

y = 175.6 mm
σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·175.6/2.345 × 10⁷ = 187.2 MPa

답

σ아래 = 187.2 MPa
9.모어 원과 응력 변환

답: θp = 7.31 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCσ1​σ2​

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θp = atan2(2·30, 160 − −70) = 14.62°

요소에서의 각도

θp = 7.31°

답

θp = 7.31°

반시계 방향 각도가 양입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σθ = 50.06 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σθ = 45 + 15·0.766 + 10·−0.6428 = 50.06 MPa

답

σθ = 50.06 MPa
11.보의 처짐

답: δP = 21.43 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 21000 N, a = 2000 mm, b = 6000 mm, L = 8000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

하중 아래의 처짐

δP = Pa²b²/(3EIL) = 21000·2000²·6000²/(3·5.88 × 10¹²·8000) = 21.43 mm

답

δP = 21.43 mm
12.보의 처짐

답: RB = 22.5 kN

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δload = wL⁴/(8EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·10·6/8 = 22.5 kN

답

RB = 22.5 kN
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 35.25 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/2100² = 35249 N = 35.25 kN

답

Pcr = 35.25 kN
14.기둥의 좌굴

답: d = 55.77 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2·75000 = 150000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 55.77 mm

답

d = 55.77 mm

확인: 세장비 KL/r는 179.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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