재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

축하중을 받는 강철 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 25 kNd = 25 mmL = 1 mE = 200 GPa

δ = mm

2.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 20 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 200 mm, E = 100 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 60 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø30 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.축의 비틀림보통

황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 750 N·md = 40 mmL = 2.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

지름 50 mm인 속이 찬 알루미늄 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 3 m, B에서 1 m 떨어진 C에 토크 250 N·m이(가) 가해진다. 벽 A의 반력 토크 T_A을(를) 구하시오.

d = 50 mmT₀ = 250 N·ma = 3 mb = 1 m

T_A = N·m

5.전단력과 휨 모멘트보통

지점 A에서 x = 0.5 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 10 mw = 10 kN/m, 0부터 10 m까지x = 0.5 m

M_x = kN·m

6.전단력과 휨 모멘트어려움

지점 A에서 x = 2.5 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mP = 15 kN 위치 1 mw = 12 kN/m, 0부터 6 m까지x = 2.5 m

M_x = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

원형 관의 바깥지름은 D = 90 mm, 안지름은 d = 78 mm이다. 수평 도심축에 대한 회전 반지름 r을(를) 구하시오.

D = 90 mmd = 78 mm

r = mm

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 220 mm, 두께 14 mm이고, 전체 높이는 320 mm, 웨브 두께는 6 mm이다. 축 x에 대해 휨 모멘트 50 kN·m을(를) 받는다. 단면의 최대 휨 응력 크기 σ_max을(를) 구하시오.

B = 220 mmH = 320 mmt_f = 14 mmt_w = 6 mmM = 50 kN·m

σ_max = MPa

9.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 0 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = −50 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θ_p을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σ_x = 0 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

10.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 160 MPa, σᵧ = −10 MPa, τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). 재료의 항복 강도는 350 MPa이다. 폰 미제스(전단 변형 에너지) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σ_x = 160 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.보의 처짐보통

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.보의 처짐어려움

단순보에 등분포 하중 w와 경간 중앙의 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 중앙 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

P = 21 kNw = 8 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (강철)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.2546 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 25·1000/490.9 = 50.93 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 50.93/200000 = 0.0002546 = 254.6 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.0002546·1000 mm = 0.2546 mm

답

δ = 0.2546 mm

2.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 65.48 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·314.2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 100000·706.9/200 = 353429 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 60000·353429/458149 = 46286 N

응력

σ₂ = 46286/706.9 = 65.48 MPa (압축)

답

σ₂ = 65.48 MPa

3.축의 비틀림

답: φ = 10.96 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2500/(39000·251327) = 0.1913 rad

φ = 0.1913·180/π = 10.96°

답

φ = 10.96°

4.축의 비틀림

답: T_A = 62.5 N·m

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 T_A + T_B = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·1/4 = 62.5 N·m

T_B = 250·3/4 = 187.5 N·m

답

T_A = 62.5 N·m

5.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 23.75 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, 작용점 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·10·5

R_B = 500/10 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

x = 0.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 50·0.5 − 10·0.5·0.25 = 23.75 kN·m

답

M_x = 23.75 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 61.25 kN·m

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, 작용점 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·1 + 12·6·3

R_B = 231/6 = 38.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 87 − 38.5 = 48.5 kN

x = 2.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 48.5·2.5 − 15·(2.5 − 1) − 12·2.5·1.25 = 61.25 kN·m

답

M_x = 61.25 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: r = 29.77 mm

단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = I_c + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다. 회전 반지름 r = √(I/A)은 전체 면적이 같은 I를 주게 되는 거리이며, 기둥 좌굴에 쓰입니다.

순단면적과 단면 2차 모멘트

A = π(D² − d²)/4 = 1583 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1.404 × 10⁶ mm⁴

회전 반지름

r = √(I/A) = √(1.404 × 10⁶/1583) = 29.77 mm

답

r = 29.77 mm

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_max = 51.04 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개

두 빈 부분을 합치면 폭 (B − t_w), 높이 h_w = H − 2t_f이며, 축 x를 공유합니다.

h_w = 320 − 2·14 = 292 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (220·320³ − 214·292³)/12

I_x = 1.567 × 10⁸ mm⁴

휨 응력

y = 160 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·160/1.567 × 10⁸ = 51.04 MPa

답

σ_max = 51.04 MPa

9.모어 원과 응력 변환

답: θ_p = −50.65 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θ_p = atan2(2·−50, 0 − 20) = −101.3°

요소에서의 각도

θ_p = −50.65°

답

θ_p = −50.65°

반시계 방향 각도가 양입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: n = 1.876

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 75 MPa, R = 98.62 MPa

σ₁ = 173.6 MPa, σ₂ = −23.62 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √(173.6² − 173.6·(−23.62) + (−23.62)²) = 186.5 MPa

n = 350/186.5 = 1.876

답

n = 1.876

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

11.보의 처짐

답: δ_max = 44.82 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 4000 mm

EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

처짐

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 44.82 mm

답

δ_max = 44.82 mm

12.보의 처짐

답: δ_max = 8.438 mm

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 21000 N, w = 8 N/mm, L = 3000 mm, EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

각 하중을 따로

δ_P = PL³/(48EI) = 21000·3000³/(48·2.4 × 10¹²) = 4.922 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·2.4 × 10¹²) = 3.516 mm

더하기

δ_max = 4.922 + 3.516 = 8.438 mm

답

δ_max = 8.438 mm

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 62.01 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·1000 = 2000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2000² = 62013 N = 62.01 kN

답

P_cr = 62.01 kN

14.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 11.99 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/6.25 = 240

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11.99 MPa

답

σ_cr = 11.99 MPa

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