재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
Ø 16 mm구리1 mP = 110 kN

구리 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 110 kNd = 16 mmL = 1 mE = 117 GPa
ε = µε
2.축 응력과 변형률어려움
Ø 40 mm황동1 mØ 16 mm알루미늄0.5 mP = 120 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.

P = 120 kN구간 1: Ø40 mm, 1 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø16 mm, 0.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)
σmax = MPa
3.축의 비틀림보통
d = ?T = 500 N·mL = 2 m

길이 2 m인 속이 찬 황동 축이 토크 500 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 2°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

T = 500 N·mL = 2 mG = 39 GPaφallow = 2°
d = mm
4.축의 비틀림어려움
Tdo​ = 50 mm, di​ = 40 mm

속이 빈 축이 300 rpm에서 30 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

P = 30 kWN = 300 rpmdo = 50 mmdi = 40 mm
τmax = MPa
5.전단력과 휨 모멘트보통
10 kN10 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

10 kN @ 4 m10 kN @ 1 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 4 kN/mP = 60 kNAB단면3.5 m1.5 m1 m

지점 A에서 x = 5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mP = 60 kN 위치 3.5 mw = 4 kN/m, 0부터 6 m까지x = 5 m
Mx = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
2802512020x치수 단위: mm

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

bf = 280 mmtf = 25 mmtw = 20 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
120 mm150 mm90 mm80 × 30xIx​ = ?

120 mm × 150 mm 판에 폭 80 mm, 높이 30 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 90 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 120 mmh = 150 mm절취부: 80 × 30 mm구멍 중심: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 50σy​ = 70MPaτxy​ = ?

한 점에서 σₓ = 50 MPa, σᵧ = 70 MPa이다. 최대 주응력이 115 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τxy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σx = 50 MPaσy = 70 MPaσ1 = 115 MPa
τxy = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 140σy​ = −40τxy​ = 40MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 140 MPa, σᵧ = −40 MPa, τₓᵧ = 40 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 460 MPa이다. 트레스카(최대 전단 응력) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σx = 140 MPaσy = −40 MPaτxy = 40 MPaσY = 460 MPa
n =
11.보의 처짐보통
w = 8 kN/mABθ2.5 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 A에서 보의 처짐각 θA을(를) 라디안으로 구하시오.

w = 8 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 23 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.보의 처짐어려움
w = 8 kN/mAB4 m

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. EI는 일정하다. 받침의 반력 RB을(를) 구하시오.

L = 4 mw = 8 kN/m
RB = kN
13.기둥의 좌굴보통
PL = 3 m30 × 50 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
P = 105 kNL = 4 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 105 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 105 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (강철)
d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: ε = 4676 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 110·1000/201.1 = 547.1 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 547.1/117000 = 0.004676 = 4676 µε

답

ε = 4676 µε
2.축 응력과 변형률

답: σmax = 596.8 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 95.49 MPa
σ2 = 596.8 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σmax = 596.8 MPa

답

σmax = 596.8 MPa
3.축의 비틀림

답: d = 52.3 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

필요한 극관성 모멘트

T = 500 N·m = 500000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 2·π/180 = 0.03491 rad
J = TL/(Gφ) = 500000·2000/(39000·0.03491) = 734561 mm⁴

지름

d = (32J/π)1/4 = 52.3 mm

답

d = 52.3 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

4.축의 비틀림

답: τmax = 65.9 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 30000/31.42 = 954.9 N·m

극관성 모멘트

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

최대 전단 응력

τmax = T·(do/2)/J = 954930·25/362265 = 65.9 MPa

답

τmax = 65.9 MPa
5.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 4 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 11.67 kN, R2 = 8.333 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 11.67, MC = 13.33, MD = 15, ME = 16.67 kN·m, MF = 8.333, MG = 0

답

표시점 E: ME = 16.67 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 45 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·3.5 + 4·6·3
RB = 282/6 = 47 kN
ΣFy = 0: RA = 84 − 47 = 37 kN
w = 4 kN/mP = 60 kNABRA​ = 37RB​ = 47단면3.5 m1.5 m1 m

x = 5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 37·5 − 60·(5 − 3.5) − 4·5·2.5 = 45 kN·m

답

Mx = 45 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 12.64 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 280·25 = 7000 mm², yf = 120 + 25/2 = 132.5 mm
웨브: Aw = 20·120 = 2400 mm², yw = 120/2 = 60 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7000·132.5 + 2400·60)/9400 = 114 mm

평행축 정리

플랜지: 280·25³/12 + 7000·(132.5 − 114)² = 2.763 × 10⁶ mm⁴
웨브: 20·120³/12 + 2400·(60 − 114)² = 9.876 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.763 × 10⁶ + 9.876 × 10⁶ = 1.264 × 10⁷ mm⁴ = 12.64 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 12.64 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 32.95 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (18000·75 − 2400·90)/(18000 − 2400) = 72.69 mm

ȳ에 대한 전체 판

120·150³/12 + 18000·2.308² = 33.85 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

80·30³/12 + 2400·17.31² = 0.8989 × 10⁶ mm⁴

빼기

Ix = 32.95 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 32.95 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환

답: τxy = 54.08 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (50 + 70)/2 = 60 MPa
R = σ1 − C = 115 − 60 = 55 MPa
στxyCσ1​σ2​

전단 응력

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 10²) = 54.08 MPa

답

τxy = 54.08 MPa
10.모어 원과 응력 변환

답: n = 2.335

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

στxyCσ1​σ2​

주응력

C = 50 MPa, R = 98.49 MPa
σ1 = 148.5 MPa, σ2 = −48.49 MPa, σ3 = 0

트레스카

σmax − σmin = 197 MPa
n = 460/197 = 2.335

답

n = 2.335

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

11.보의 처짐

답: θA = 0.02059 rad

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 처짐각 θ = dv/dx는 M/(EI)를 한 번 적분한 것이며, 단위를 일관되게 쓰면 라디안으로 나옵니다.

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2500 mm
EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

끝 처짐각

θA = wL³/(24EI) = 8·2500³/(24·2.53 × 10¹¹) = 0.02059 rad

답

θA = 0.02059 rad

1.18°입니다.

12.보의 처짐

답: RB = 12 kN

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δload = wL⁴/(8EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·8·4/8 = 12 kN

답

RB = 12 kN
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 2.159 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·3000 = 6000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/6000² = 2159 N = 2.159 kN

답

Pcr = 2.159 kN
14.기둥의 좌굴

답: d = 54.26 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2·105000 = 210000 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 54.26 mm

답

d = 54.26 mm

확인: 세장비 KL/r는 147.4이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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