축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 강철 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 15 kNd = 16 mmL = 3 mE = 200 GPa
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
강철 봉(지름 25 mm, E = 200 GPa, 허용응력 120 MPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 60 mm, E = 100 GPa, 허용응력 70 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.
막대: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa관: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
3.축의 비틀림보통
알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 250 N·md = 40 mmL = 1.2 mG = 26 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
중공축이 1000 rpm에서 15 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.6배로 하고, 전단 응력은 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.
P = 15 kWN = 1000 rpmdi/do = 0.6τallow = 75 MPa
do = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 6.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 10 mw = 4 kN/m, 0부터 10 m까지x = 6.5 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
15 kN @ 6 m55 kN @ 1 m12 kN/m, 0–4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
200 mm × 200 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 50 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 80 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 200 mmh = 200 mmd = 50 mm구멍 중심: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 140 mm, 두께 22 mm이고, 전체 높이는 240 mm, 웨브 두께는 6 mm이다. 축 x에 대해 휨 모멘트 60 kN·m을(를) 받는다. 웨브와 상부 플랜지가 만나는 곳의 휨 응력 크기 σj을(를) 구하시오.
B = 140 mmH = 240 mmtf = 22 mmtw = 6 mmM = 60 kN·m
σj = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 70 MPa, τₓᵧ = 10 MPa, σz = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τabs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.
σx = 160 MPaσy = 70 MPaτxy = 10 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −80 MPa, σᵧ = 70 MPa, τₓᵧ = −60 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 20° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.
σx = −80 MPaσy = 70 MPaτxy = −60 MPaθ = 20°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
단순보의 지점 A에서 a = 2.5 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 하중 아래의 처짐 δP을(를) 구하시오.
P = 13 kNa = 2.5 mL = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.보의 처짐어려움
단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.
w = 12 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 40 mm
σcr = MPa
3용액
1.축 응력과 변형률
답: δ = 1.119 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 15·1000/201.1 = 74.6 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 74.6/200000 = 0.000373 = 373 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.000373·3000 mm = 1.119 mm
답
δ = 1.119 mm
2.축 응력과 변형률
답: Pmax = 190.9 kN
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·2199 = 3.181 × 10⁸ N
지배 변형률
ε = min(0.0006, 0.0007) = 0.0006 (강철)
최대 하중
Pmax = 0.0006·3.181 × 10⁸ = 190852 N = 190.9 kN
답
Pmax = 190.9 kN
3.축의 비틀림
답: φ = 2.63 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(26000·251327) = 0.04591 rad
φ = 0.04591·180/π = 2.63°
답
φ = 2.63°
4.축의 비틀림
답: do = 22.36 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 15000/104.7 = 143.2 N·m
허용 응력에서 구한 바깥지름
T = 143.2 N·m = 143239 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·143239/(π·75·0.8704)) = 22.36 mm
di = 0.6·22.36 = 13.41 mm
답
do = 22.36 mm
속이 찬 축이라면 d = 21.35 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 45.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 4·10·5
RB = 200/10 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
x = 6.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 20·6.5 − 4·6.5·3.25 = 45.5 kN·m
답
Mx = 45.5 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: B (x = 1 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 57.75 kN, R2 = 60.25 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = 51.75 kN·m, MC = 36.5, MD = 9.25, ME = −30, MF = −15, MG = 0
답
표시점 B: MB = 51.75 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 132.2 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (40000·100 − 1963·80)/(40000 − 1963) = 101 mm
ȳ에 대한 전체 판
200·200³/12 + 40000·−1.032² = 133.4 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·50⁴/64 + 1963·−21.03² = 1.175 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 132.2 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 132.2 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: σj = 76.17 MPa
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개
두 빈 부분을 합치면 폭 (B − tw), 높이 hw = H − 2tf이며, 축 x를 공유합니다.
hw = 240 − 2·22 = 196 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (140·240³ − 134·196³)/12
Ix = 7.72 × 10⁷ mm⁴
휨 응력
y = 120 − 22 = 98 mm
σ = M·y/I = 6 × 10⁷·98/7.72 × 10⁷ = 76.17 MPa
답
σj = 76.17 MPa
9.모어 원과 응력 변환
답: τabs = 80.55 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σmax − σmin)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.
면내 주응력
C = 115 MPa, R = √(45² + 10²) = 46.1 MPa
σ1 = 161.1 MPa, σ2 = 68.9 MPa, σz = 0
세 원 중 가장 큰 원
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(92.2, 161.1, 68.9)/2 = 80.55 MPa
답
τabs = 80.55 MPa
여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.
10.모어 원과 응력 변환
답: σθ = −101 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
σθ = −5 + −75·0.766 + −60·0.6428 = −101 MPa
답
σθ = −101 MPa
11.보의 처짐
답: δP = 18.14 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 13000 N, a = 2500 mm, b = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 8.4 × 10¹¹ N·mm²
하중 아래의 처짐
δP = Pa²b²/(3EIL) = 13000·2500²·1500²/(3·8.4 × 10¹¹·4000) = 18.14 mm
답
δP = 18.14 mm
12.보의 처짐
답: Ireq = 79.9 × 10⁶ mm⁴
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
처짐 한계
δallow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm
필요한 단면 2차 모멘트
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·2500⁴/(384·11000·6.944) = 7.99 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 79.9 × 10⁶ mm⁴
답
Ireq = 79.9 × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 11.7 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 2·1500 = 3000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/3000² = 11697 N = 11.7 kN
답
Pcr = 11.7 kN
14.기둥의 좌굴
답: σcr = 35.25 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/10 = 140
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35.25 MPa
답
σcr = 35.25 MPa
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