재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

황동 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 95 kNd = 20 mmL = 0.5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 20 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 400 mm, E = 120 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 60 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.축의 비틀림보통

알루미늄 중공축(바깥지름 75 mm, 안지름 53 mm, 길이 2.5 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 750 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 750 N·md_o = 75 mmd_i = 53 mmL = 2.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 축이 300 rpm에서 10 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 10 kWN = 300 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.전단력과 휨 모멘트보통

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

10 kN @ 8 m20 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.전단력과 휨 모멘트어려움

보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1.5 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 사이의 최대 정(正) 휨 모멘트 M_max을(를) 구하시오.

L = 9.5 mw = 5 kN/m, 0부터 9.5 m까지x = 0과 x = 8 m에 지점

M_max = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 40 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ_아래을(를) 구하시오.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 200 mmM = 40 kN·m

σ_아래 = MPa

9.모어 원과 응력 변환보통

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 90 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = −60 MPa, σ_z = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τ_abs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σ_x = 90 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 70 MPa, σᵧ = −30 MPa, τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). 재료의 항복 강도는 350 MPa이다. 트레스카(최대 전단 응력) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σ_x = 70 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.보의 처짐보통

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (강철)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.보의 처짐어려움

폭 75 mm의 직사각형 단면 목재 단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 처짐은 경간/360을(를) 넘을 수 없다. 단면의 최소 높이 h_req을(를) 구하시오.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (구조용 목재)b = 75 mm

h_req = mm

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 150 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 150 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: ε = 3024 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 95·1000/314.2 = 302.4 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 302.4/100000 = 0.003024 = 3024 µε

답

ε = 3024 µε

2.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 33.7 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·314.2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 120000·1257/400 = 376991 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 60000·376991/534071 = 42353 N

응력

σ₂ = 42353/1257 = 33.7 MPa (압축)

답

σ₂ = 33.7 MPa

3.축의 비틀림

답: φ = 1.772 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2.332 × 10⁶ mm⁴

비틀림각

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 2.5 m = 2500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·2500/(26000·2.332 × 10⁶) = 0.03093 rad

φ = 0.03093·180/π = 1.772°

답

φ = 1.772°

4.축의 비틀림

답: d = 27.86 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 10000/31.42 = 318.3 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·318310/(π·75)) = 27.86 mm

답

d = 27.86 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: D (x = 6 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R₁ = 13.33 kN, R₂ = 16.67 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

M_A = 0, M_B = 26.67, M_C = 53.33, M_D = 80 kN·m, M_E = 66.67, M_F = 33.33, M_G = 0

답

표시점 D: M_D = 80 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_max = 37.24 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·9.5 = 47.5 kN, 작용점 x̄ = 4.75 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·9.5·4.75

R_B = 225.6/8 = 28.2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 47.5 − 28.2 = 19.3 kN

전단력 0

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 19.3/5 = 3.859 m

최대 정모멘트

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 19.3²/(2·5) = 37.24 kN·m

답

M_max = 37.24 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 18.28 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

웨브: A_w = 14·160 = 2240 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·175 + 2240·80)/6440 = 142 mm

평행축 정리

플랜지: 140·30³/12 + 4200·(175 − 142)² = 4.901 × 10⁶ mm⁴

웨브: 14·160³/12 + 2240·(80 − 142)² = 1.338 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4.901 × 10⁶ + 1.338 × 10⁷ = 1.828 × 10⁷ mm⁴ = 18.28 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 18.28 × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_아래 = 398.9 MPa

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

웨브: A_w = 8·200 = 1600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·210 + 1600·100)/3600 = 161.1 mm

평행축 정리

플랜지: 100·20³/12 + 2000·(210 − 161.1)² = 4.847 × 10⁶ mm⁴

웨브: 8·200³/12 + 1600·(100 − 161.1)² = 1.131 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4.847 × 10⁶ + 1.131 × 10⁷ = 1.616 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.

y = 161.1 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·161.1/1.616 × 10⁷ = 398.9 MPa

답

σ_아래 = 398.9 MPa

9.모어 원과 응력 변환

답: τ_abs = 80.41 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σ_max − σ_min)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

면내 주응력

C = 100 MPa, R = √((−10)² + (−60)²) = 60.83 MPa

σ₁ = 160.8 MPa, σ₂ = 39.17 MPa, σ_z = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(121.7, 160.8, 39.17)/2 = 80.41 MPa

답

τ_abs = 80.41 MPa

여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: n = 3.432

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 20 MPa, R = 50.99 MPa

σ₁ = 70.99 MPa, σ₂ = −30.99 MPa, σ₃ = 0

트레스카

σ_max − σ_min = 102 MPa

n = 350/102 = 3.432

답

n = 3.432

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

11.보의 처짐

답: δ = 14.04 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

처짐

δ = wL⁴/(8EI) = 5·4000⁴/(8·1.14 × 10¹³) = 14.04 mm

답

δ = 14.04 mm

12.보의 처짐

답: h_req = 257.4 mm

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

처짐 한계

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·5000⁴/(384·11000·13.89) = 1.065 × 10⁸ mm⁴

필요한 높이

bh³/12 = I_req → h = (12·1.065 × 10⁸/75)^1/3 = 257.4 mm

답

h_req = 257.4 mm

실무에서는 이 값보다 큰 다음 표준 높이를 고릅니다.

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 9.914 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/2800² = 9914 N = 9.914 kN

답

P_cr = 9.914 kN

14.기둥의 좌굴

답: d = 92.84 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·150000 = 450000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 92.84 mm

답

d = 92.84 mm

확인: 세장비 KL/r는 172.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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