재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

알루미늄 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 85 kNd = 10 mmL = 3 mE = 70 GPa

ε = µε

2.축 응력과 변형률어려움

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa, 허용응력 150 MPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 70 mm, E = 100 GPa, 허용응력 80 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 P_max을(를) 구하시오.

막대: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPa관: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.축의 비틀림보통

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 300 rpm에서 15 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 15 kWN = 300 rpmd_o = 75 mmd_i = 53 mm

τ_max = MPa

5.전단력과 휨 모멘트보통

캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 2.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 x = 2 m인 단면에서 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 2.5 mP = 20 kN 위치 2.5 mw = 3 kN/m, 0부터 2.5 m까지x = 2 m

M_x = kN·m

6.전단력과 휨 모멘트어려움

단순보의 경간 일부에 등분포 하중이 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 M_max을(를) 구하시오.

L = 6 mw = 6 kN/m, 3부터 5 m까지

M_max = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

ㄷ형강 단면이 열린 쪽을 위로 하여 놓여 있다. 폭 200 mm의 밑판에 두 개의 세운 다리가 있으며 전체 높이는 200 mm이다. 밑판과 다리의 두께는 모두 16 mm이다. 밑변에서 도심까지의 높이 ȳ을(를) 구하시오.

b = 200 mmh = 200 mmt = 16 mm

ȳ = mm

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 25 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ_위의 크기를 구하시오.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 120 mmM = 25 kN·m

σ_위 = MPa

9.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 0 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = −10 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θ_p을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σ_x = 0 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

10.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 30 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 30° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = 30 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.보의 처짐보통

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (강철)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.보의 처짐어려움

단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 I_req을(를) 구하시오.

w = 12 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (강철)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 200 GPa (강철)d = 20 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 120 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 120 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: ε = 15461 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 85·1000/78.54 = 1082 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1082/70000 = 0.01546 = 15461 µε

답

ε = 15461 µε

2.축 응력과 변형률

답: P_max = 606.7 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·7461 = 8.09 × 10⁸ N

지배 변형률

ε = min(0.00075, 0.0008) = 0.00075 (강철)

최대 하중

P_max = 0.00075·8.09 × 10⁸ = 606720 N = 606.7 kN

답

P_max = 606.7 kN

3.축의 비틀림

답: φ = 5.699 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2000/(80000·251327) = 0.09947 rad

φ = 0.09947·180/π = 5.699°

답

φ = 5.699°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 7.679 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 15000/31.42 = 477.5 N·m

극관성 모멘트

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2.332 × 10⁶ mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·37.5/2.332 × 10⁶ = 7.679 MPa

답

τ_max = 7.679 MPa

5.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = −10.38 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

자유단 쪽 부분을 남긴다

P: −20·0.5 = −10 kN·m

w: −3·0.5²/2 = −0.375 kN·m

M_x = −10 − 0.375 = −10.38 kN·m

답

M_x = −10.38 kN·m

음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_max = 13.33 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, 작용점 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·2·4

R_B = 48/6 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 8 = 4 kN

전단력 0

전단력은 R_A에서 시작해 하중이 없는 구간에서는 일정하고, 하중 구간 안에서는 기울기 w로 감소합니다.

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 4/6 = 3.667 m

최대 모멘트

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 3)²/2 = 4·3.667 − 6·0.6667²/2 = 13.33 kN·m

답

M_max = 13.33 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: ȳ = 72.79 mm

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

직사각형으로 나누기

밑판은 전체 폭으로, 두 다리는 그 위의 높이(h − t)로 잡으면 중복 계산이 없습니다.

기제: A₁ = 200·16 = 3200 mm², y₁ = 8 mm

두 다리: A₂ = 2·16·184 = 5888 mm², y₂ = 16 + 184/2 = 108 mm

도심

ȳ = (3200·8 + 5888·108)/9088 = 72.79 mm

답

ȳ = 72.79 mm

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_위 = 185.9 MPa

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 120 + 20/2 = 130 mm

웨브: A_w = 8·120 = 960 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·130 + 960·60)/2960 = 107.3 mm

평행축 정리

플랜지: 100·20³/12 + 2000·(130 − 107.3)² = 1.097 × 10⁶ mm⁴

웨브: 8·120³/12 + 960·(60 − 107.3)² = 3.3 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.097 × 10⁶ + 3.3 × 10⁶ = 4.397 × 10⁶ mm⁴

휨 응력

위 가장자리는 축에서 h − ȳ 떨어져 있습니다.

y = 140 − 107.3 = 32.7 mm

σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·32.7/4.397 × 10⁶ = 185.9 MPa

답

σ_위 = 185.9 MPa

9.모어 원과 응력 변환

답: θ_p = −84.35 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θ_p = atan2(2·−10, 0 − 100) = −168.7°

요소에서의 각도

θ_p = −84.35°

답

θ_p = −84.35°

반시계 방향 각도가 양입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = 24.02 MPa

변환 식

σ_θ = 70 + −40·0.5 + 30·−0.866 = 24.02 MPa

답

σ_θ = 24.02 MPa

11.보의 처짐

답: δ = 13.32 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

처짐

δ = wL⁴/(8EI) = 15·3000⁴/(8·1.14 × 10¹³) = 13.32 mm

답

δ = 13.32 mm

12.보의 처짐

답: I_req = 144 × 10⁶ mm⁴

처짐 한계

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·8000⁴/(384·200000·22.22) = 1.44 × 10⁸ mm⁴

I_req = 144 × 10⁶ mm⁴

답

I_req = 144 × 10⁶ mm⁴

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 31.64 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·1000 = 700 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/700² = 31639 N = 31.64 kN

답

P_cr = 31.64 kN

14.기둥의 좌굴

답: d = 82.14 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·120000 = 360000 N

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·360000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 82.14 mm

답

d = 82.14 mm

확인: 세장비 KL/r는 170.4이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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