축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
막대가 강철 구간(지름 20 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 500 mm, E = 120 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.5 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø60 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
2.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 95 kN구간 1: Ø30 mm, 1.5 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø16 mm, 2 m, 구리 (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.축의 비틀림보통
강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 750 N·md = 50 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 1000 rpm에서 100 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 100 kWN = 1000 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
20 kN @ 3 m20 kN @ 5 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 6 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 8 mP = 50 kN 위치 6 mw = 5 kN/m, 0부터 8 m까지x = 6 m
Mx = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
150 mm × 200 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 30 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 140 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 150 mmh = 200 mmd = 30 mm구멍 중심: y = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
용접 I형 단면의 상부 플랜지는 130 × 24 mm, 웨브는 높이 220 mm, 두께 12 mm, 하부 플랜지는 200 × 20 mm(폭 × 두께)이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
상부 플랜지: 130 × 24 mm웨브: 12 × 220 mm하부 플랜지: 200 × 20 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 80 MPa, σᵧ = 90 MPa, τₓᵧ = 50 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 반시계 방향 25° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σy′을(를) 구하시오.
σx = 80 MPaσy = 90 MPaτxy = 50 MPaθ = 25°
σy′ = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 60 MPa, σᵧ = 120 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 20° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.
σx = 60 MPaσy = 120 MPaτxy = −40 MPaθ = -20°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가, 자유단에 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.
P = 17 kNw = 15 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. EI는 일정하다. 고정단의 휨 모멘트 크기 MA을(를) 구하시오.
L = 4 mw = 10 kN/m
MA = kN·m
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)d = 20 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm
σcr = MPa
3용액
1.축 응력과 변형률
답: P = 63.78 kN
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
A₁ = 314.2 mm², A₂ = 2827 mm²
유연도
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314.2) = 6.366 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·2827) = 1.474 × 10⁻⁶ mm/N
하중
P = 0.5/7.84 × 10⁻⁶ = 63777 N = 63.78 kN
답
P = 63.78 kN
2.축 응력과 변형률
답: σmax = 472.5 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 134.4 MPa
σ2 = 472.5 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 472.5 MPa
답
σmax = 472.5 MPa
3.축의 비틀림
답: φ = 0.8754 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(80000·613592) = 0.01528 rad
φ = 0.01528·180/π = 0.8754°
답
φ = 0.8754°
4.축의 비틀림
답: d = 39.32 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 100000/104.7 = 954.9 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·954930/(π·80)) = 39.32 mm
답
d = 39.32 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: D (x = 3 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 13.33 kN, R2 = 26.67 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = 13.33, MC = 26.67, MD = 40 kN·m, ME = 33.33, MF = 26.67, MG = 0
답
표시점 D: MD = 40 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 105 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 50·6 + 5·8·4
RB = 460/8 = 57.5 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 57.5 = 32.5 kN
x = 6 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 32.5·6 − 5·6·3 = 105 kN·m
답
Mx = 105 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 98.8 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (30000·100 − 706.9·140)/(30000 − 706.9) = 99.03 mm
ȳ에 대한 전체 판
150·200³/12 + 30000·0.9652² = 100 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·30⁴/64 + 706.9·40.97² = 1.226 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 98.8 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 98.8 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 114 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
세 개의 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
상부 플랜지: A = 3120 mm², y = 252 mm
웨브: A = 2640 mm², y = 130 mm
하부 플랜지: A = 4000 mm², y = 10 mm
도심
ȳ = (3120·252 + 2640·130 + 4000·10)/9760 = 119.8 mm
평행축 정리
상부 플랜지: 130·24³/12 + 3120·132.2² = 5.466 × 10⁷ mm⁴
웨브: 12·220³/12 + 2640·10.18² = 1.092 × 10⁷ mm⁴
하부 플랜지: 200·20³/12 + 4000·109.8² = 4.837 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5.466 × 10⁷ + 1.092 × 10⁷ + 4.837 × 10⁷
Ix = 1.14 × 10⁸ mm⁴ = 114 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 114 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환
답: σy′ = 49.91 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
y′ 면의 변환 공식
σy′ = 85 − (−5)·0.6428 − 50·0.766 = 49.91 MPa
검산
수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.
σx′ = 120.1 MPa, σx′ + σy′ = 170 = σx + σy
답
σy′ = 49.91 MPa
10.모어 원과 응력 변환
답: σθ = 92.73 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
σθ = 90 + −30·0.766 + −40·−0.6428 = 92.73 MPa
답
σθ = 92.73 MPa
11.보의 처짐
답: δ = 19.26 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 17000 N, w = 15 N/mm, L = 2500 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²
각 하중을 따로
δP = PL³/(3EI) = 17000·2500³/(3·8.4 × 10¹²) = 10.54 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 15·2500⁴/(8·8.4 × 10¹²) = 8.719 mm
더하기
δ = 10.54 + 8.719 = 19.26 mm
답
δ = 19.26 mm
12.보의 처짐
답: MA = 20 kN·m
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).
받침 제거
받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.
δload = wL⁴/(8EI)
받침에서의 적합 조건
받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·10·4/8 = 15 kN
고정단의 모멘트
하중과 받침력의 A에 대한 모멘트.
MA = wL²/2 − RB·L = 80 − 60 = 20 kN·m
답
MA = 20 kN·m
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 27.56 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.5·1500 = 750 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/750² = 27561 N = 27.56 kN
답
Pcr = 27.56 kN
14.기둥의 좌굴
답: σcr = 137.1 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 1·1500 = 1500 mm
KL/r = 1500/12.5 = 120
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/120² = 137.1 MPa
답
σcr = 137.1 MPa
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