재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
Ø 16 mm구리2.5 mP = 75 kN

축하중을 받는 구리 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 75 kNd = 16 mmL = 2.5 mE = 117 GPa
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
Ø 40 mm강철1.5 mØ 16 mm강철2 mP = 70 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.

P = 70 kN구간 1: Ø40 mm, 1.5 m, 강철 (E = 200 GPa)구간 2: Ø16 mm, 2 m, 강철 (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.축의 비틀림보통
d = ?T = 1000 N·mL = 0.5 m

길이 0.5 m인 속이 찬 알루미늄 축이 토크 1000 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 1.5°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

T = 1000 N·mL = 0.5 mG = 26 GPaφallow = 1.5°
d = mm
4.축의 비틀림어려움
d = 60 mmTB​ = 2000 N·mTC​ = 250 N·mABC1.5 m1.5 m

지름 60 mm인 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 1.5 m 떨어진 B에 토크 2000 N·m이(가), 거기서 1.5 m 더 떨어진 자유단 C에 같은 방향의 토크 250 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

d = 60 mmTB = 2000 N·mTC = 250 N·mAB = 1.5 mBC = 1.5 m
τmax = MPa
5.전단력과 휨 모멘트보통
P1​ = 55 kNP2​ = 65 kNABC1.5 m4.5 m2 m

보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 2 m만큼 내밀어져 있다. 지점 사이에 집중 하중 P1, C에 집중 하중 P2이 작용한다. 하중 P1 아래의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 8 mP1 = 55 kN 위치 1.5 mP2 = 65 kN 위치 8 mx = 0과 x = 6 m에 지점
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 4 kN/mABC6 m1 m

보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 사이의 최대 정(正) 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.

L = 7 mw = 4 kN/m, 0부터 7 m까지x = 0과 x = 6 m에 지점
Mmax = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
xD = 280d = 268치수 단위: mm

원형 관의 바깥지름은 D = 280 mm, 안지름은 d = 268 mm이다. 수평 도심축에 대한 회전 반지름 r을(를) 구하시오.

D = 280 mmd = 268 mm
r = mm
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
170480168xM = 80 kN·m치수 단위: mm

대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 170 mm, 두께 16 mm이고, 전체 높이는 480 mm, 웨브 두께는 8 mm이다. 축 x에 대해 휨 모멘트 80 kN·m을(를) 받는다. 웨브와 상부 플랜지가 만나는 곳의 휨 응력 크기 σj을(를) 구하시오.

B = 170 mmH = 480 mmtf = 16 mmtw = 8 mmM = 80 kN·m
σj = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 120σy​ = 120τxy​ = 50MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 120 MPa, σᵧ = 120 MPa, τₓᵧ = 50 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σx = 120 MPaσy = 120 MPaτxy = 50 MPa
θp = °
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 40σy​ = 40τxy​ = 10MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 40 MPa, σᵧ = 40 MPa, τₓᵧ = 10 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 50° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.

σx = 40 MPaσy = 40 MPaτxy = 10 MPaθ = 50°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
w = 2 kN/mδL = 2 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.

w = 2 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.보의 처짐어려움
w = 5 kN/mδL = 5 m

단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴보통
PL = 5 md = 50 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
P = 90 kNL = 5 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 90 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 90 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (강철)
d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 7.97 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 75·1000/201.1 = 373 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 373/117000 = 0.003188 = 3188 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.003188·2500 mm = 7.97 mm

답

δ = 7.97 mm
2.축 응력과 변형률

답: σmax = 348.2 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 55.7 MPa
σ2 = 348.2 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σmax = 348.2 MPa

답

σmax = 348.2 MPa
3.축의 비틀림

답: d = 52.3 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

필요한 극관성 모멘트

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 0.5 m = 500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad
J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·500/(26000·0.02618) = 734561 mm⁴

지름

d = (32J/π)1/4 = 52.3 mm

답

d = 52.3 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

4.축의 비틀림

답: τmax = 53.05 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

내부 토크

TC의 방향을 양으로 잡습니다.

TBC = TC = 250 N·m
TAB = TC + TB = 250 + 2000 = 2250 N·m

최대 전단 응력

내부 토크가 가장 큰 구간의 응력이 가장 큽니다(지름이 같음).

|T|max = 2250 N·m
τmax = 16·2.25 × 10⁶/(π·60³) = 53.05 MPa

답

τmax = 53.05 MPa
5.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 29.37 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형입니다. 내민 부분의 하중도 A에 대해 모멘트를 만듭니다.

ΣMA = 0: RB·6 = 55·1.5 + 65·8
RB = 602.5/6 = 100.4 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 100.4 = 19.58 kN

P1 아래에서 자르고 왼쪽 부분을 남긴다

Mx = RA·1.5 = 19.58·1.5 = 29.37 kN·m

답

Mx = 29.37 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: Mmax = 17.01 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·7 = 28 kN, 작용점 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 4·7·3.5
RB = 98/6 = 16.33 kN
ΣFy = 0: RA = 28 − 16.33 = 11.67 kN

전단력 0

RA − w·x0 = 0 → x0 = 11.67/4 = 2.917 m

최대 정모멘트

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 11.67²/(2·4) = 17.01 kN·m

답

Mmax = 17.01 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: r = 96.9 mm

단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = Ic + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다. 회전 반지름 r = √(I/A)은 전체 면적이 같은 I를 주게 되는 거리이며, 기둥 좌굴에 쓰입니다.

순단면적과 단면 2차 모멘트

A = π(D² − d²)/4 = 5165 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 4.849 × 10⁷ mm⁴

회전 반지름

r = √(I/A) = √(4.849 × 10⁷/5165) = 96.9 mm

답

r = 96.9 mm
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σj = 50.78 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개

두 빈 부분을 합치면 폭 (B − tw), 높이 hw = H − 2tf이며, 축 x를 공유합니다.

hw = 480 − 2·16 = 448 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (170·480³ − 162·448³)/12
Ix = 3.529 × 10⁸ mm⁴

휨 응력

y = 240 − 16 = 224 mm
σ = M·y/I = 8 × 10⁷·224/3.529 × 10⁸ = 50.78 MPa

답

σj = 50.78 MPa
9.모어 원과 응력 변환

답: θp = 45 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCσ1​σ2​

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θp = atan2(2·50, 120 − 120) = 90°

요소에서의 각도

θp = 45°

답

θp = 45°

반시계 방향 각도가 양입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σθ = 49.85 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σθ = 40 + 0·−0.1736 + 10·0.9848 = 49.85 MPa

답

σθ = 49.85 MPa
11.보의 처짐

답: δmax = 3.157 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.32 × 10¹¹ N·mm²

처짐

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2000⁴/(384·1.32 × 10¹¹) = 3.157 mm

답

δmax = 3.157 mm
12.보의 처짐

답: Ireq = 41.85 × 10⁶ mm⁴

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

처짐 한계

δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·5000⁴/(384·70000·13.89) = 4.185 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 41.85 × 10⁶ mm⁴

답

Ireq = 41.85 × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 49.44 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/3500² = 49436 N = 49.44 kN

답

Pcr = 49.44 kN
14.기둥의 좌굴

답: d = 82.55 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2·90000 = 180000 N
KL = 1·5000 = 5000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 82.55 mm

답

d = 82.55 mm

확인: 세장비 KL/r는 242.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials