재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
Ø 12 mm강철3 mP = 100 kN

축하중을 받는 강철 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 100 kNd = 12 mmL = 3 mE = 200 GPa
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
Ø 35 mm구리0.5 mØ 20 mm알루미늄2 mP = 20 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.

P = 20 kN구간 1: Ø35 mm, 0.5 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø20 mm, 2 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)
σmax = MPa
3.축의 비틀림보통
d = ?T = 1000 N·mL = 0.5 m

길이 0.5 m인 속이 찬 황동 축이 토크 1000 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 1°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

T = 1000 N·mL = 0.5 mG = 39 GPaφallow = 1°
d = mm
4.축의 비틀림어려움
Td = ?

속이 찬 축이 300 rpm에서 75 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 50 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 75 kWN = 300 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
10 kN30 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

10 kN @ 4 m30 kN @ 8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
15 kN/m30 kN60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

30 kN @ 6 m60 kN @ 3 m15 kN/m, 0–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
1601012014x치수 단위: mm

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

bf = 160 mmtf = 10 mmtw = 14 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
180252608xM = 40 kN·m치수 단위: mm

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 40 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ아래을(를) 구하시오.

bf = 180 mmtf = 25 mmtw = 8 mmhw = 260 mmM = 40 kN·m
σ아래 = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 80σy​ = 120τxy​ = −10MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 80 MPa, σᵧ = 120 MPa, τₓᵧ = −10 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

σx = 80 MPaσy = 120 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​τxy​축의 윗면

지름 25 mm인 속이 찬 축이 휨 모멘트 100 N·m와(과) 토크 400 N·m를 함께 받는다. 휨 응력이 인장이면서 가장 큰 윗면에서 최대 주응력 σ1을(를) 구하시오.

d = 25 mmM = 100 N·mT = 400 N·m
σ1 = MPa
11.보의 처짐보통
w = 12 kN/mδL = 3 m

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
w = 3 kN/mABδ3 m

폭 125 mm의 직사각형 단면 목재 단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 처짐은 경간/300을(를) 넘을 수 없다. 단면의 최소 높이 hreq을(를) 구하시오.

w = 3 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (구조용 목재)b = 125 mm
hreq = mm
13.기둥의 좌굴보통
PL = 2 m30 × 60 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 200 GPa (강철)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
P = 125 kNL = 2.5 md = ?단면

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 125 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 125 kNn = 3L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 13.26 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 100·1000/113.1 = 884.2 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 884.2/200000 = 0.004421 = 4421 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.004421·3000 mm = 13.26 mm

답

δ = 13.26 mm
2.축 응력과 변형률

답: σmax = 63.66 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 20.79 MPa
σ2 = 63.66 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σmax = 63.66 MPa

답

σmax = 63.66 MPa
3.축의 비틀림

답: d = 52.3 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

필요한 극관성 모멘트

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 0.5 m = 500 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 1·π/180 = 0.01745 rad
J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·500/(39000·0.01745) = 734561 mm⁴

지름

d = (32J/π)1/4 = 52.3 mm

답

d = 52.3 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

4.축의 비틀림

답: d = 62.42 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 75000/31.42 = 2387 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·2.387 × 10⁶/(π·50)) = 62.42 mm

답

d = 62.42 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 8 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 16.67 kN, R2 = 23.33 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 33.33, MC = 66.67, MD = 80, ME = 93.33 kN·m, MF = 46.67, MG = 0

답

표시점 E: ME = 93.33 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 4 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 30 kN, R2 = 120 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 22.5, MC = 30, MD = 22.5, ME = −60 kN·m, MF = −30, MG = 0

답

표시점 E: ME = −60 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 5.492 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 160·10 = 1600 mm², yf = 120 + 10/2 = 125 mm
웨브: Aw = 14·120 = 1680 mm², yw = 120/2 = 60 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1600·125 + 1680·60)/3280 = 91.71 mm

평행축 정리

플랜지: 160·10³/12 + 1600·(125 − 91.71)² = 1.787 × 10⁶ mm⁴
웨브: 14·120³/12 + 1680·(60 − 91.71)² = 3.705 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.787 × 10⁶ + 3.705 × 10⁶ = 5.492 × 10⁶ mm⁴ = 5.492 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 5.492 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ아래 = 222.8 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 180·25 = 4500 mm², yf = 260 + 25/2 = 272.5 mm
웨브: Aw = 8·260 = 2080 mm², yw = 260/2 = 130 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4500·272.5 + 2080·130)/6580 = 227.5 mm

평행축 정리

플랜지: 180·25³/12 + 4500·(272.5 − 227.5)² = 9.365 × 10⁶ mm⁴
웨브: 8·260³/12 + 2080·(130 − 227.5)² = 3.147 × 10⁷ mm⁴
Ix = 9.365 × 10⁶ + 3.147 × 10⁷ = 4.084 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.

y = 227.5 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·227.5/4.084 × 10⁷ = 222.8 MPa

답

σ아래 = 222.8 MPa
9.모어 원과 응력 변환

답: τmax = 22.36 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

σxyCτmax​

모어 원의 반지름

τmax = R = √(((80 − 120)/2)² + −10²) = 22.36 MPa

답

τmax = 22.36 MPa
10.모어 원과 응력 변환

답: σ1 = 167 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

표면의 응력

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·25³) = 65.19 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·25³) = 130.4 MPa
στxyCσ1​σ2​

모어 원

C = σ/2 = 32.59 MPa
R = √(32.59² + 130.4²) = 134.4 MPa
σ1 = C + R = 167 MPa
σ2 = C − R = −101.8 MPa

답

σ1 = 167 MPa
11.보의 처짐

답: δ = 48.21 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 3000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

처짐

δ = wL⁴/(8EI) = 12·3000⁴/(8·2.52 × 10¹²) = 48.21 mm

답

δ = 48.21 mm
12.보의 처짐

답: hreq = 140.3 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

처짐 한계

δallow = L/300 = 3000/300 = 10 mm

필요한 단면 2차 모멘트

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·3000⁴/(384·11000·10) = 2.876 × 10⁷ mm⁴

필요한 높이

bh³/12 = Ireq → h = (12·2.876 × 10⁷/125)1/3 = 140.3 mm

답

hreq = 140.3 mm

실무에서는 이 값보다 큰 다음 표준 높이를 고릅니다.

13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 136 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/1400² = 135959 N = 136 kN

답

Pcr = 136 kN
14.기둥의 좌굴

답: d = 91.18 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 3·125000 = 375000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 91.18 mm

답

d = 91.18 mm

확인: 세장비 KL/r는 109.7이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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