축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 강철 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 30 kNd = 10 mmL = 2 mE = 200 GPa
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 25 kN구간 1: Ø35 mm, 1.5 m, 강철 (E = 200 GPa)구간 2: Ø16 mm, 1.5 m, 구리 (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.축의 비틀림보통
강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 1000 N·md = 25 mmL = 1.2 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 강철 축이 300 rpm에서 5 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 50 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.5°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 5 kWN = 300 rpmτallow = 50 MPaθallow = 0.5°/mG = 80 GPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 4 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 x = 3 m인 단면에서 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 4 mP = 80 kN 위치 4 mw = 10 kN/m, 0부터 4 m까지x = 3 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
35 kN @ 0 m60 kN @ 12 m15 kN @ 4 m12 kN/m, 2–8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
ㄷ형강 단면이 열린 쪽을 위로 하여 놓여 있다. 폭 100 mm의 밑판에 두 개의 세운 다리가 있으며 전체 높이는 130 mm이다. 밑판과 다리의 두께는 모두 10 mm이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 100 mmh = 130 mmt = 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
용접 I형 단면의 상부 플랜지는 200 × 16 mm, 웨브는 높이 240 mm, 두께 10 mm, 하부 플랜지는 270 × 20 mm(폭 × 두께)이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
상부 플랜지: 200 × 16 mm웨브: 10 × 240 mm하부 플랜지: 270 × 20 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = −60 MPa, σᵧ = 50 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 반시계 방향 15° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σy′을(를) 구하시오.
σx = −60 MPaσy = 50 MPaτxy = 20 MPaθ = 15°
σy′ = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 30 MPa, τₓᵧ = −40 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 275 MPa이다. 폰 미제스(전단 변형 에너지) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.
σx = 130 MPaσy = 30 MPaτxy = −40 MPaσY = 275 MPa
n =
11.보의 처짐보통
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 A에서 보의 처짐각 θA을(를) 라디안으로 구하시오.
w = 6 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 120 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.보의 처짐어려움
폭 75 mm의 직사각형 단면 목재 단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 처짐은 경간/300을(를) 넘을 수 없다. 단면의 최소 높이 hreq을(를) 구하시오.
w = 1.5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (구조용 목재)b = 75 mm
hreq = mm
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 4 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm
σcr = MPa
3용액
1.축 응력과 변형률
답: δ = 3.82 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 30·1000/78.54 = 382 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 382/200000 = 0.00191 = 1910 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.00191·2000 mm = 3.82 mm
답
δ = 3.82 mm
2.축 응력과 변형률
답: σmax = 124.3 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 25.98 MPa
σ2 = 124.3 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 124.3 MPa
답
σmax = 124.3 MPa
3.축의 비틀림
답: φ = 22.41 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1200/(80000·38350) = 0.3911 rad
φ = 0.3911·180/π = 22.41°
답
φ = 22.41°
4.축의 비틀림
답: d = 39.04 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 5000/31.42 = 159.2 N·m
강도 기준 지름
T = 159.2 N·m = 159155 N·mm
dτ = ∛(16·159155/(π·50)) = 25.31 mm
강성 기준 지름
θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·159155/(π·80000·8.727 × 10⁻⁶))1/4 = 39.04 mm
지배 지름
두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.
d = max(25.31, 39.04) = 39.04 mm
답
d = 39.04 mm
여기서는 강성이 지배합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = −85 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
자유단 쪽 부분을 남긴다
P: −80·1 = −80 kN·m
w: −10·1²/2 = −5 kN·m
Mx = −80 − 5 = −85 kN·m
답
Mx = −85 kN·m
음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.
6.전단력과 휨 모멘트
답: E (x = 8 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 52.67 kN, R2 = 129.3 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = −70, MC = −58.67, MD = −125.3, ME = −240 kN·m, MF = −120, MG = 0
답
표시점 E: ME = −240 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 5.871 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
직사각형으로 나누기
밑판은 전체 폭으로, 두 다리는 그 위의 높이(h − t)로 잡으면 중복 계산이 없습니다.
기제: A1 = 100·10 = 1000 mm², y1 = 5 mm
두 다리: A2 = 2·10·120 = 2400 mm², y2 = 10 + 120/2 = 70 mm
도심
ȳ = (1000·5 + 2400·70)/3400 = 50.88 mm
평행축 정리
기제: 100·10³/12 + 1000·(5 − 50.88)² = 2.114 × 10⁶ mm⁴
두 다리: 2·10·120³/12 + 2400·(70 − 50.88)² = 3.757 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.114 × 10⁶ + 3.757 × 10⁶
Ix = 5.871 × 10⁶ mm⁴ = 5.871 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 5.871 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 147.7 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
세 개의 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
상부 플랜지: A = 3200 mm², y = 268 mm
웨브: A = 2400 mm², y = 140 mm
하부 플랜지: A = 5400 mm², y = 10 mm
도심
ȳ = (3200·268 + 2400·140 + 5400·10)/11000 = 113.4 mm
평행축 정리
상부 플랜지: 200·16³/12 + 3200·154.6² = 7.653 × 10⁷ mm⁴
웨브: 10·240³/12 + 2400·26.58² = 1.322 × 10⁷ mm⁴
하부 플랜지: 270·20³/12 + 5400·103.4² = 5.793 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7.653 × 10⁷ + 1.322 × 10⁷ + 5.793 × 10⁷
Ix = 1.477 × 10⁸ mm⁴ = 147.7 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 147.7 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환
답: σy′ = 32.63 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
y′ 면의 변환 공식
σy′ = −5 − (−55)·0.866 − 20·0.5 = 32.63 MPa
검산
수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.
σx′ = −42.63 MPa, σx′ + σy′ = −10 = σx + σy
답
σy′ = 32.63 MPa
10.모어 원과 응력 변환
답: n = 2.011
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.
주응력
C = 80 MPa, R = 64.03 MPa
σ1 = 144 MPa, σ2 = 15.97 MPa, σ3 = 0
폰 미제스
σvM = √(144² − 144·15.97 + 15.97²) = 136.7 MPa
n = 275/136.7 = 2.011
답
n = 2.011
n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.
11.보의 처짐
답: θA = 0.00372 rad
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 처짐각 θ = dv/dx는 M/(EI)를 한 번 적분한 것이며, 단위를 일관되게 쓰면 라디안으로 나옵니다.
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 6 N/mm, L = 5000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²
끝 처짐각
θA = wL³/(24EI) = 6·5000³/(24·8.4 × 10¹²) = 0.00372 rad
답
θA = 0.00372 rad
0.2132°입니다.
12.보의 처짐
답: hreq = 132 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 1.5 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²
처짐 한계
δallow = L/300 = 3000/300 = 10 mm
필요한 단면 2차 모멘트
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1.5·3000⁴/(384·11000·10) = 1.438 × 10⁷ mm⁴
필요한 높이
bh³/12 = Ireq → h = (12·1.438 × 10⁷/75)1/3 = 132 mm
답
hreq = 132 mm
실무에서는 이 값보다 큰 다음 표준 높이를 고릅니다.
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 41.96 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/1750² = 41963 N = 41.96 kN
답
Pcr = 41.96 kN
14.기둥의 좌굴
답: σcr = 39.34 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/12.5 = 224
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/224² = 39.34 MPa
답
σcr = 39.34 MPa
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