재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 60 mm, E = 70 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 300 mm이며 강체 판 사이에서 50 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 50 kN막대: Ø20 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 25 kN구간 1: Ø40 mm, 1 m, 강철 (E = 200 GPa)구간 2: Ø16 mm, 0.5 m, 강철 (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.축의 비틀림보통

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 1000 N·md = 25 mmL = 1.2 mG = 80 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 1500 rpm에서 75 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 75 kWN = 1500 rpmd_o = 40 mmd_i = 20 mm

τ_max = MPa

5.전단력과 휨 모멘트보통

지점 A에서 x = 6.5 m인 단면의 전단력 V_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 10 mw = 12 kN/m, 0부터 10 m까지x = 6.5 m

V_x = kN

6.전단력과 휨 모멘트어려움

지점 A에서 x = 2.5 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 4 mP = 15 kN 위치 2 mw = 6 kN/m, 0부터 4 m까지x = 2.5 m

M_x = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

원형 관의 바깥지름은 D = 230 mm, 안지름은 d = 206 mm이다. 수평 도심축에 대한 회전 반지름 r을(를) 구하시오.

D = 230 mmd = 206 mm

r = mm

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 15 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ_위의 크기를 구하시오.

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 160 mmM = 15 kN·m

σ_위 = MPa

9.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 60 MPa, σᵧ = 10 MPa이다. 최대 주응력이 80 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τ_xy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σ_x = 60 MPaσ_y = 10 MPaσ₁ = 80 MPa

τ_xy = MPa

10.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 150 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 30° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = 150 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.보의 처짐보통

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가, 자유단에 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

P = 14 kNw = 5 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.보의 처짐어려움

단순보의 지점 B에서 b = 1 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 보의 최대 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

P = 28 kNb = 1 mL = 4 mE = 200 GPa (강철)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.02285 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·8482 = 6.566 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 50000·300/6.566 × 10⁸ = 0.02285 mm

답

δ = 0.02285 mm

2.축 응력과 변형률

답: σ_max = 124.3 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 19.89 MPa

σ₂ = 124.3 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 124.3 MPa

답

σ_max = 124.3 MPa

3.축의 비틀림

답: φ = 22.41 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1200/(80000·38350) = 0.3911 rad

φ = 0.3911·180/π = 22.41°

답

φ = 22.41°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 40.53 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 75000/157.1 = 477.5 N·m

극관성 모멘트

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·20/235619 = 40.53 MPa

답

τ_max = 40.53 MPa

5.전단력과 휨 모멘트

답: V_x = −18 kN

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, 작용점 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·10·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 60 = 60 kN

x = 6.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

V = R_A − (절단면 왼쪽의 모든 아래 방향 하중)

V_x = 60 − 12·6.5 = −18 kN

답

V_x = −18 kN

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 22.5 kN·m

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, 작용점 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·2 + 6·4·2

R_B = 78/4 = 19.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 39 − 19.5 = 19.5 kN

x = 2.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 19.5·2.5 − 15·(2.5 − 2) − 6·2.5·1.25 = 22.5 kN·m

답

M_x = 22.5 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: r = 77.19 mm

단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = I_c + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다. 회전 반지름 r = √(I/A)은 전체 면적이 같은 I를 주게 되는 거리이며, 기둥 좌굴에 쓰입니다.

순단면적과 단면 2차 모멘트

A = π(D² − d²)/4 = 8218 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 4.897 × 10⁷ mm⁴

회전 반지름

r = √(I/A) = √(4.897 × 10⁷/8218) = 77.19 mm

답

r = 77.19 mm

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_위 = 89.08 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 160 + 15/2 = 167.5 mm

웨브: A_w = 8·160 = 1280 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·167.5 + 1280·80)/2780 = 127.2 mm

평행축 정리

플랜지: 100·15³/12 + 1500·(167.5 − 127.2)² = 2.463 × 10⁶ mm⁴

웨브: 8·160³/12 + 1280·(80 − 127.2)² = 5.584 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.463 × 10⁶ + 5.584 × 10⁶ = 8.047 × 10⁶ mm⁴

휨 응력

위 가장자리는 축에서 h − ȳ 떨어져 있습니다.

y = 175 − 127.2 = 47.79 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·47.79/8.047 × 10⁶ = 89.08 MPa

답

σ_위 = 89.08 MPa

9.모어 원과 응력 변환

답: τ_xy = 37.42 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (60 + 10)/2 = 35 MPa

R = σ₁ − C = 80 − 35 = 45 MPa

전단 응력

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(45² − 25²) = 37.42 MPa

답

τ_xy = 37.42 MPa

10.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = 122.7 MPa

변환 식

σ_θ = 130 + 20·0.5 + 20·−0.866 = 122.7 MPa

답

σ_θ = 122.7 MPa

11.보의 처짐

답: δ = 51.23 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 14000 N, w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

각 하중을 따로

δ_P = PL³/(3EI) = 14000·2000³/(3·9.24 × 10¹¹) = 40.4 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 5·2000⁴/(8·9.24 × 10¹¹) = 10.82 mm

더하기

δ = 40.4 + 10.82 = 51.23 mm

답

δ = 51.23 mm

12.보의 처짐

답: δ_max = 5.671 mm

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 28000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

최댓값의 위치

더 긴 구간에서 처짐각을 0으로 두면 위치가 나옵니다.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm

최대 처짐

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 5.671 mm

답

δ_max = 5.671 mm

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 96.89 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2500² = 96895 N = 96.89 kN

답

P_cr = 96.89 kN

14.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 30.71 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/10 = 150

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30.71 MPa

답

σ_cr = 30.71 MPa

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