축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
강철 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 20 kNd = 25 mmL = 3 mE = 200 GPa
ε = µε
2.축 응력과 변형률어려움
강철 봉(지름 25 mm, E = 200 GPa, 허용응력 150 MPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 60 mm, E = 70 GPa, 허용응력 80 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.
막대: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPa관: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
3.축의 비틀림보통
비틀림 시험에서 지름 20 mm인 속이 찬 시편에 토크 50 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 400 mm의 양 끝이 서로 0.91° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.
T = 50 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 0.91°
G = GPa
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 1800 rpm에서 15 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 15 kWN = 1800 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1.5 m만큼 내밀어져 있다. 지점 사이에 집중 하중 P1, C에 집중 하중 P2이 작용한다. 하중 P1 아래의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 5.5 mP1 = 30 kN 위치 2 mP2 = 20 kN 위치 5.5 mx = 0과 x = 4 m에 지점
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 2 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 B에서의 휨 모멘트 MB을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 7 mw = 2 kN/m, 0부터 7 m까지x = 0과 x = 5 m에 지점
MB = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
120 mm × 300 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 50 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 195 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 120 mmh = 300 mmd = 50 mm구멍 중심: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 120 mm, 두께 20 mm이고, 전체 높이는 320 mm, 웨브 두께는 14 mm이다. 축 x에 대해 휨 모멘트 40 kN·m을(를) 받는다. 단면의 최대 휨 응력 크기 σmax을(를) 구하시오.
B = 120 mmH = 320 mmtf = 20 mmtw = 14 mmM = 40 kN·m
σmax = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 80 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = −30 MPa, σz = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τabs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.
σx = 80 MPaσy = 20 MPaτxy = −30 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 40 MPa, σᵧ = 80 MPa, τₓᵧ = −50 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 300 MPa이다. 트레스카(최대 전단 응력) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.
σx = 40 MPaσy = 80 MPaτxy = −50 MPaσY = 300 MPa
n =
11.보의 처짐보통
단순보의 지점 A에서 a = 1 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 하중 아래의 처짐 δP을(를) 구하시오.
P = 29 kNa = 1 mL = 3 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.보의 처짐어려움
단순보에 등분포 하중 w와 경간 중앙의 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 중앙 처짐 δmax을(를) 구하시오.
P = 9 kNw = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (강철)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 6 mE = 200 GPa (강철)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 20 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 20 kNn = 2.5L = 1 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
3용액
1.축 응력과 변형률
답: ε = 203.7 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 20·1000/490.9 = 40.74 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 40.74/200000 = 0.0002037 = 203.7 µε
답
ε = 203.7 µε
2.축 응력과 변형률
답: Pmax = 337.5 kN
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·5027 = 4.5 × 10⁸ N
지배 변형률
ε = min(0.00075, 0.001143) = 0.00075 (강철)
최대 하중
Pmax = 0.00075·4.5 × 10⁸ = 337525 N = 337.5 kN
답
Pmax = 337.5 kN
3.축의 비틀림
답: G = 80.17 GPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트와 각
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 0.91·π/180 = 0.01588 rad
전단 탄성 계수
T = 50 N·m = 50000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 50000·400/(15708·0.01588) = 80166 MPa
G = 80.17 GPa
답
G = 80.17 GPa
비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.
4.축의 비틀림
답: d = 17.55 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 15000/188.5 = 79.58 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·79577/(π·75)) = 17.55 mm
답
d = 17.55 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 15 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형입니다. 내민 부분의 하중도 A에 대해 모멘트를 만듭니다.
ΣMA = 0: RB·4 = 30·2 + 20·5.5
RB = 170/4 = 42.5 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 42.5 = 7.5 kN
P1 아래에서 자르고 왼쪽 부분을 남긴다
Mx = RA·2 = 7.5·2 = 15 kN·m
답
Mx = 15 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: MB = −4 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·7 = 14 kN, 작용점 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 2·7·3.5
RB = 49/5 = 9.8 kN
ΣFy = 0: RA = 14 − 9.8 = 4.2 kN
B에서 자르고 내민 부분을 남긴다
내민 부분의 하중 w·a는 B에서 a/2인 곳에 작용하며, 지점 위에서 보를 위로 볼록하게 휩니다(부모멘트).
MB = −w·a²/2 = −2·2²/2 = −4 kN·m
답
MB = −4 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 265.5 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (36000·150 − 1963·195)/(36000 − 1963) = 147.4 mm
ȳ에 대한 전체 판
120·300³/12 + 36000·2.596² = 270.2 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·50⁴/64 + 1963·47.6² = 4.755 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 265.5 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 265.5 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: σmax = 47.84 MPa
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개
두 빈 부분을 합치면 폭 (B − tw), 높이 hw = H − 2tf이며, 축 x를 공유합니다.
hw = 320 − 2·20 = 280 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (120·320³ − 106·280³)/12
Ix = 1.338 × 10⁸ mm⁴
휨 응력
y = 160 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·160/1.338 × 10⁸ = 47.84 MPa
답
σmax = 47.84 MPa
9.모어 원과 응력 변환
답: τabs = 46.21 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σmax − σmin)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.
면내 주응력
C = 50 MPa, R = √(30² + (−30)²) = 42.43 MPa
σ1 = 92.43 MPa, σ2 = 7.574 MPa, σz = 0
세 원 중 가장 큰 원
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(84.85, 92.43, 7.574)/2 = 46.21 MPa
답
τabs = 46.21 MPa
여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.
10.모어 원과 응력 변환
답: n = 2.635
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.
주응력
C = 60 MPa, R = 53.85 MPa
σ1 = 113.9 MPa, σ2 = 6.148 MPa, σ3 = 0
트레스카
σmax − σmin = 113.9 MPa
n = 300/113.9 = 2.635
답
n = 2.635
n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.
11.보의 처짐
답: δP = 7.323 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 29000 N, a = 1000 mm, b = 2000 mm, L = 3000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
하중 아래의 처짐
δP = Pa²b²/(3EIL) = 29000·1000²·2000²/(3·1.76 × 10¹²·3000) = 7.323 mm
답
δP = 7.323 mm
12.보의 처짐
답: δmax = 5.625 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 9000 N, w = 5 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²
각 하중을 따로
δP = PL³/(48EI) = 9000·5000³/(48·1.14 × 10¹³) = 2.056 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·1.14 × 10¹³) = 3.569 mm
더하기
δmax = 2.056 + 3.569 = 5.625 mm
답
δmax = 5.625 mm
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 22.85 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/3000² = 22846 N = 22.85 kN
답
Pcr = 22.85 kN
14.기둥의 좌굴
답: d = 26.8 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2.5·20000 = 50000 N
KL = 1·1000 = 1000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 26.8 mm
답
d = 26.8 mm
확인: 세장비 KL/r는 149.2이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
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