축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
막대가 강철 구간(지름 20 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 500 mm, E = 100 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.25 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
2.축 응력과 변형률어려움
강철 구간(지름 25 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 200 mm, E = 100 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 60 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø50 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 60 kN
σ2 = MPa
3.축의 비틀림보통
강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 1000 N·md = 25 mmL = 1.2 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 알루미늄 축이 1000 rpm에서 15 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 40 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 1°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 40 MPaθallow = 1°/mG = 26 GPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 0.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 휨 모멘트 MA을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 2.5 mP = 70 kN 위치 0.5 mw = 4 kN/m, 0부터 2.5 m까지
MA = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용하고 집중 하중 P도 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.
L = 4 mP = 30 kN 위치 1.5 mw = 6 kN/m, 0부터 4 m까지
Mmax = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 260 mmtf = 25 mmtw = 10 mmhw = 100 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
용접 I형 단면의 상부 플랜지는 110 × 22 mm, 웨브는 높이 240 mm, 두께 16 mm, 하부 플랜지는 170 × 22 mm(폭 × 두께)이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
상부 플랜지: 110 × 22 mm웨브: 16 × 240 mm하부 플랜지: 170 × 22 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 110 MPa, σᵧ = 100 MPa이다. 최대 주응력이 130 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τxy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?
σx = 110 MPaσy = 100 MPaσ1 = 130 MPa
τxy = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −30 MPa, σᵧ = −10 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 45° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.
σx = −30 MPaσy = −10 MPaτxy = 20 MPaθ = -45°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.
w = 10 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (강철)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.보의 처짐어려움
폭 100 mm의 직사각형 단면 목재 단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 처짐은 경간/250을(를) 넘을 수 없다. 단면의 최소 높이 hreq을(를) 구하시오.
w = 2 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)b = 100 mm
hreq = mm
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 40 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 5 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 5 kNn = 3L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
3용액
1.축 응력과 변형률
답: P = 30.73 kN
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
A₁ = 314.2 mm², A₂ = 2827 mm²
유연도
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314.2) = 6.366 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·2827) = 1.768 × 10⁻⁶ mm/N
하중
P = 0.25/8.135 × 10⁻⁶ = 30733 N = 30.73 kN
답
P = 30.73 kN
2.축 응력과 변형률
답: σ2 = 22.92 MPa
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
강성
k₁ = 200000·490.9/300 = 327249 N/mm
k₂ = 100000·1963/200 = 981748 N/mm
구간 2의 몫
F2 = 60000·981748/1.309 × 10⁶ = 45000 N
응력
σ2 = 45000/1963 = 22.92 MPa (압축)
답
σ2 = 22.92 MPa
3.축의 비틀림
답: φ = 22.41 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1200/(80000·38350) = 0.3911 rad
φ = 0.3911·180/π = 22.41°
답
φ = 22.41°
4.축의 비틀림
답: d = 42.35 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 15000/104.7 = 143.2 N·m
강도 기준 지름
T = 143.2 N·m = 143239 N·mm
dτ = ∛(16·143239/(π·40)) = 26.32 mm
강성 기준 지름
θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·143239/(π·26000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 42.35 mm
지배 지름
두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.
d = max(26.32, 42.35) = 42.35 mm
답
d = 42.35 mm
여기서는 강성이 지배합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: MA = −47.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
자유단 쪽 부분을 남긴다
P: −70·0.5 = −35 kN·m
w: −4·2.5²/2 = −12.5 kN·m
MA = −35 − 12.5 = −47.5 kN·m
답
MA = −47.5 kN·m
음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mmax = 39.38 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, 작용점 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 30·1.5 + 6·4·2
RB = 93/4 = 23.25 kN
ΣFy = 0: RA = 54 − 23.25 = 30.75 kN
V = 0인 곳은?
V(1.5⁻) = RA − w·1.5 = 21.75 kN
V(1.5⁺) = 21.75 − 30 = −8.25 kN
전단력이 하중 위치에서 부호가 바뀌므로 최댓값은 하중 아래에 있습니다.
최대 모멘트
Mmax = RA·1.5 − w·1.5²/2 = 30.75·1.5 − 6·1.5²/2 = 39.38 kN·m
답
Mmax = 39.38 kN·m
A에서 x = 1.5 m인 곳에서 생깁니다.
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 4.557 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 260·25 = 6500 mm², yf = 100 + 25/2 = 112.5 mm
웨브: Aw = 10·100 = 1000 mm², yw = 100/2 = 50 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6500·112.5 + 1000·50)/7500 = 104.2 mm
평행축 정리
플랜지: 260·25³/12 + 6500·(112.5 − 104.2)² = 789931 mm⁴
웨브: 10·100³/12 + 1000·(50 − 104.2)² = 3.767 × 10⁶ mm⁴
Ix = 789931 + 3.767 × 10⁶ = 4.557 × 10⁶ mm⁴ = 4.557 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 4.557 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 121.4 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
세 개의 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
상부 플랜지: A = 2420 mm², y = 273 mm
웨브: A = 3840 mm², y = 142 mm
하부 플랜지: A = 3740 mm², y = 11 mm
도심
ȳ = (2420·273 + 3840·142 + 3740·11)/10000 = 124.7 mm
평행축 정리
상부 플랜지: 110·22³/12 + 2420·148.3² = 5.331 × 10⁷ mm⁴
웨브: 16·240³/12 + 3840·17.29² = 1.958 × 10⁷ mm⁴
하부 플랜지: 170·22³/12 + 3740·113.7² = 4.851 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5.331 × 10⁷ + 1.958 × 10⁷ + 4.851 × 10⁷
Ix = 1.214 × 10⁸ mm⁴ = 121.4 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 121.4 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환
답: τxy = 24.49 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
필요한 반지름
C = (110 + 100)/2 = 105 MPa
R = σ1 − C = 130 − 105 = 25 MPa
전단 응력
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(25² − 5²) = 24.49 MPa
답
τxy = 24.49 MPa
10.모어 원과 응력 변환
답: σθ = −40 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
σθ = −20 + −10·0 + 20·−1 = −40 MPa
답
σθ = −40 MPa
11.보의 처짐
답: δmax = 47.87 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 10 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
처짐
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·5000⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 47.87 mm
답
δmax = 47.87 mm
12.보의 처짐
답: hreq = 144.9 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 2 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²
처짐 한계
δallow = L/250 = 3500/250 = 14 mm
필요한 단면 2차 모멘트
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·3500⁴/(384·11000·14) = 2.538 × 10⁷ mm⁴
필요한 높이
bh³/12 = Ireq → h = (12·2.538 × 10⁷/100)1/3 = 144.9 mm
답
hreq = 144.9 mm
실무에서는 이 값보다 큰 다음 표준 높이를 고릅니다.
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 13.89 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 1·2500 = 2500 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2500² = 13891 N = 13.89 kN
답
Pcr = 13.89 kN
14.기둥의 좌굴
답: d = 20.33 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 3·5000 = 15000 N
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·15000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 20.33 mm
답
d = 20.33 mm
확인: 세장비 KL/r는 206.6이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
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