재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 300 mm, E = 100 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.5 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0.5 mm

P = kN

2.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 10 kN구간 1: Ø40 mm, 2 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø16 mm, 1 m, 구리 (E = 117 GPa)

δ = mm

3.축의 비틀림보통

황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 400 N·md = 50 mmL = 1.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 750 rpm에서 100 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 100 kWN = 750 rpmd_o = 50 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.전단력과 휨 모멘트보통

지점 A에서 x = 4.5 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mw = 2 kN/m, 0부터 6 m까지x = 4.5 m

M_x = kN·m

6.전단력과 휨 모멘트어려움

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용하고 집중 하중 P도 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 M_max을(를) 구하시오.

L = 4 mP = 30 kN 위치 1.5 mw = 3 kN/m, 0부터 4 m까지

M_max = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 120 mm, 두께 18 mm이고, 전체 높이는 360 mm, 웨브 두께는 8 mm이다. 수평 도심축 x에 대한 휨의 탄성 단면 계수 S_x을(를) 구하시오.

B = 120 mmH = 360 mmt_f = 18 mmt_w = 8 mm

S_x = × 10³ mm³

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

100 mm × 150 mm 판에 폭 50 mm, 높이 40 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 60 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b = 100 mmh = 150 mm절취부: 50 × 40 mm구멍 중심: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −40 MPa, σᵧ = 30 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

σ_x = −40 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 10 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = −60 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 45° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = 10 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.보의 처짐보통

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

w = 2 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.보의 처짐어려움

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. EI는 일정하다. 고정단의 휨 모멘트 크기 M_A을(를) 구하시오.

L = 4 mw = 4 kN/m

M_A = kN·m

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 75 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 75 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: P = 64.26 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 706.9 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706.9) = 3.537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·706.9) = 4.244 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.5/7.781 × 10⁻⁶ = 64260 N = 64.26 kN

답

P = 64.26 kN

2.축 응력과 변형률

답: δ = 0.5611 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 7.958 MPa

σ₂ = 49.74 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 7.958·2000/117000 = 0.136 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 49.74·1000/117000 = 0.4251 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0.5611 mm

답

δ = 0.5611 mm

3.축의 비틀림

답: φ = 1.437 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1500/(39000·613592) = 0.02507 rad

φ = 0.02507·180/π = 1.437°

답

φ = 1.437°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 87.87 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 100000/78.54 = 1273 N·m

극관성 모멘트

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1.273 × 10⁶·25/362265 = 87.87 MPa

답

τ_max = 87.87 MPa

5.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 6.75 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, 작용점 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·6·3

R_B = 36/6 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

x = 4.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 6·4.5 − 2·4.5·2.25 = 6.75 kN·m

답

M_x = 6.75 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_max = 33.75 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, 작용점 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·1.5 + 3·4·2

R_B = 69/4 = 17.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 17.25 = 24.75 kN

V = 0인 곳은?

V(1.5⁻) = R_A − w·1.5 = 20.25 kN

V(1.5⁺) = 20.25 − 30 = −9.75 kN

전단력이 하중 위치에서 부호가 바뀌므로 최댓값은 하중 아래에 있습니다.

최대 모멘트

M_max = R_A·1.5 − w·1.5²/2 = 24.75·1.5 − 3·1.5²/2 = 33.75 kN·m

답

M_max = 33.75 kN·m

A에서 x = 1.5 m인 곳에서 생깁니다.

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: S_x = 828.4 × 10³ mm³

단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = I_c + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다.

바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개

두 빈 부분을 합치면 폭 (B − t_w), 높이 h_w = H − 2t_f이며, 축 x를 공유합니다.

h_w = 360 − 2·18 = 324 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·360³ − 112·324³)/12

I_x = 1.491 × 10⁸ mm⁴

단면 계수

c = H/2 = 180 mm

S_x = I/c = 1.491 × 10⁸/180

S_x = 828403 mm³ = 828.4 × 10³ mm³

답

S_x = 828.4 × 10³ mm³

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 27.34 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 I_c = bh³/12, 원은 I_c = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (15000·75 − 2000·60)/(15000 − 2000) = 77.31 mm

ȳ에 대한 전체 판

100·150³/12 + 15000·−2.308² = 28.2 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

50·40³/12 + 2000·−17.31² = 0.8658 × 10⁶ mm⁴

빼기

I_x = 27.34 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 27.34 × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 46.1 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

모어 원의 반지름

τ_max = R = √(((−40 − 30)/2)² + 30²) = 46.1 MPa

답

τ_max = 46.1 MPa

10.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = −5 MPa

변환 식

σ_θ = 55 + −45·0 + −60·1 = −5 MPa

답

σ_θ = −5 MPa

11.보의 처짐

답: δ_max = 1.052 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2000 mm

EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²

처짐

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2000⁴/(384·3.96 × 10¹¹) = 1.052 mm

답

δ_max = 1.052 mm

12.보의 처짐

답: M_A = 8 kN·m

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δ_load = wL⁴/(8EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 R_B만으로 자유단은 R_BL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·4/8 = 6 kN

고정단의 모멘트

하중과 받침력의 A에 대한 모멘트.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 32 − 24 = 8 kN·m

답

M_A = 8 kN·m

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 96.89 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2500² = 96895 N = 96.89 kN

답

P_cr = 96.89 kN

14.기둥의 좌굴

답: d = 80 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·75000 = 225000 N

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 80 mm

답

d = 80 mm

확인: 세장비 KL/r는 210이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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