축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
알루미늄 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 10 kNd = 20 mmL = 2.5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 95 kN구간 1: Ø30 mm, 0.5 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø12 mm, 0.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)
σmax = MPa
3.축의 비틀림보통
강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 750 N·md = 50 mmL = 1.2 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
지름 25 mm인 속이 찬 황동 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 0.5 m 떨어진 B에 토크 250 N·m이(가), 거기서 1.2 m 더 떨어진 자유단 C에 같은 방향의 토크 500 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
d = 25 mmTB = 250 N·mTC = 500 N·mAB = 0.5 mBC = 1.2 m
τmax = MPa
5.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 1.5 m인 단면의 전단력 Vx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 8 mw = 5 kN/m, 0부터 8 m까지x = 1.5 m
Vx = kN
6.전단력과 휨 모멘트어려움
보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1.5 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 사이의 최대 정(正) 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.
L = 7.5 mw = 6 kN/m, 0부터 7.5 m까지x = 0과 x = 6 m에 지점
Mmax = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 140 mmtf = 20 mmtw = 12 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 190 mm, 두께 20 mm이고, 전체 높이는 440 mm, 웨브 두께는 6 mm이다. 축 x에 대해 휨 모멘트 60 kN·m을(를) 받는다. 웨브와 상부 플랜지가 만나는 곳의 휨 응력 크기 σj을(를) 구하시오.
B = 190 mmH = 440 mmtf = 20 mmtw = 6 mmM = 60 kN·m
σj = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 90 MPa, τₓᵧ = 10 MPa, σz = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τabs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.
σx = 160 MPaσy = 90 MPaτxy = 10 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
지름 60 mm인 속이 찬 축이 휨 모멘트 1000 N·m와(과) 토크 750 N·m를 함께 받는다. 휨 응력이 인장이면서 가장 큰 윗면에서 최대 주응력 σ1을(를) 구하시오.
d = 60 mmM = 1000 N·mT = 750 N·m
σ1 = MPa
11.보의 처짐보통
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 A에서 보의 처짐각 θA을(를) 라디안으로 구하시오.
w = 6 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (강철)I = 12 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.보의 처짐어려움
단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.
w = 20 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 40 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 40 mm
σcr = MPa
3용액
1.축 응력과 변형률
답: ε = 454.7 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 10·1000/314.2 = 31.83 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 31.83/70000 = 0.0004547 = 454.7 µε
답
ε = 454.7 µε
2.축 응력과 변형률
답: σmax = 840 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 134.4 MPa
σ2 = 840 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 840 MPa
답
σmax = 840 MPa
3.축의 비틀림
답: φ = 1.05 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 750·1000·1200/(80000·613592) = 0.01833 rad
φ = 0.01833·180/π = 1.05°
답
φ = 1.05°
4.축의 비틀림
답: τmax = 244.5 MPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
내부 토크
TC의 방향을 양으로 잡습니다.
TBC = TC = 500 N·m
TAB = TC + TB = 500 + 250 = 750 N·m
최대 전단 응력
내부 토크가 가장 큰 구간의 응력이 가장 큽니다(지름이 같음).
|T|max = 750 N·m
τmax = 16·750000/(π·25³) = 244.5 MPa
답
τmax = 244.5 MPa
5.전단력과 휨 모멘트
답: Vx = 12.5 kN
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 5·8·4
RB = 160/8 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
x = 1.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
V = RA − (절단면 왼쪽의 모든 아래 방향 하중)
Vx = 20 − 5·1.5 = 12.5 kN
답
Vx = 12.5 kN
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mmax = 23.73 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·7.5 = 45 kN, 작용점 x̄ = 3.75 m
ΣMA = 0: RB·6 = 6·7.5·3.75
RB = 168.8/6 = 28.13 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 28.13 = 16.88 kN
전단력 0
RA − w·x0 = 0 → x0 = 16.88/6 = 2.813 m
최대 정모멘트
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 16.88²/(2·6) = 23.73 kN·m
답
Mmax = 23.73 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 46.59 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 140·20 = 2800 mm², yf = 260 + 20/2 = 270 mm
웨브: Aw = 12·260 = 3120 mm², yw = 260/2 = 130 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2800·270 + 3120·130)/5920 = 196.2 mm
평행축 정리
플랜지: 140·20³/12 + 2800·(270 − 196.2)² = 1.534 × 10⁷ mm⁴
웨브: 12·260³/12 + 3120·(130 − 196.2)² = 3.126 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.534 × 10⁷ + 3.126 × 10⁷ = 4.659 × 10⁷ mm⁴ = 46.59 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 46.59 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: σj = 32.66 MPa
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개
두 빈 부분을 합치면 폭 (B − tw), 높이 hw = H − 2tf이며, 축 x를 공유합니다.
hw = 440 − 2·20 = 400 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (190·440³ − 184·400³)/12
Ix = 3.674 × 10⁸ mm⁴
휨 응력
y = 220 − 20 = 200 mm
σ = M·y/I = 6 × 10⁷·200/3.674 × 10⁸ = 32.66 MPa
답
σj = 32.66 MPa
9.모어 원과 응력 변환
답: τabs = 80.7 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σmax − σmin)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.
면내 주응력
C = 125 MPa, R = √(35² + 10²) = 36.4 MPa
σ1 = 161.4 MPa, σ2 = 88.6 MPa, σz = 0
세 원 중 가장 큰 원
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(72.8, 161.4, 88.6)/2 = 80.7 MPa
답
τabs = 80.7 MPa
여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.
10.모어 원과 응력 변환
답: σ1 = 53.05 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
표면의 응력
σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·60³) = 47.16 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·60³) = 17.68 MPa
모어 원
C = σ/2 = 23.58 MPa
R = √(23.58² + 17.68²) = 29.47 MPa
σ1 = C + R = 53.05 MPa
σ2 = C − R = −5.895 MPa
답
σ1 = 53.05 MPa
11.보의 처짐
답: θA = 0.002812 rad
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 처짐각 θ = dv/dx는 M/(EI)를 한 번 적분한 것이며, 단위를 일관되게 쓰면 라디안으로 나옵니다.
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 6 N/mm, L = 3000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²
끝 처짐각
θA = wL³/(24EI) = 6·3000³/(24·2.4 × 10¹²) = 0.002812 rad
답
θA = 0.002812 rad
0.1611°입니다.
12.보의 처짐
답: Ireq = 10.71 × 10⁶ mm⁴
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
처짐 한계
δallow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm
필요한 단면 2차 모멘트
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·2000⁴/(384·70000·5.556) = 1.071 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 10.71 × 10⁶ mm⁴
답
Ireq = 10.71 × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 9.646 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 2·1500 = 3000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3000² = 9646 N = 9.646 kN
답
Pcr = 9.646 kN
14.기둥의 좌굴
답: σcr = 2.763 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 2·2500 = 5000 mm
KL/r = 5000/10 = 500
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/500² = 2.763 MPa
답
σcr = 2.763 MPa
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