재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

구리 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 40 kNd = 20 mmL = 1.5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 40 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 300 mm, E = 70 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 100 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø40 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.축의 비틀림보통

강철 중공축(바깥지름 40 mm, 안지름 28 mm, 길이 3 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 100 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 100 N·md_o = 40 mmd_i = 28 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

지름 40 mm인 속이 찬 강철 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 1.2 m, B에서 1.5 m 떨어진 C에 토크 2000 N·m이(가) 가해진다. 벽 A의 반력 토크 T_A을(를) 구하시오.

d = 40 mmT₀ = 2000 N·ma = 1.2 mb = 1.5 m

T_A = N·m

5.전단력과 휨 모멘트보통

캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 0.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 휨 모멘트 M_A을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 2 mP = 30 kN 위치 0.5 mw = 4 kN/m, 0부터 2 m까지

M_A = kN·m

6.전단력과 휨 모멘트어려움

지점 A에서 x = 2 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 5 mP = 10 kN 위치 2 mw = 3 kN/m, 0부터 5 m까지x = 2 m

M_x = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

200 mm × 150 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 50 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 105 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b = 200 mmh = 150 mmd = 50 mm구멍 중심: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 20 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ_아래을(를) 구하시오.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mmM = 20 kN·m

σ_아래 = MPa

9.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 100 MPa, σᵧ = −40 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

σ_x = 100 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 60 MPa, σᵧ = 60 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 60° 회전한 면의 전단 응력 τ_θ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).

σ_x = 60 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 60°

τ_θ = MPa

11.보의 처짐보통

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 A에서 보의 처짐각 θ_A을(를) 라디안으로 구하시오.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.보의 처짐어려움

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 경간 중앙에 집중 하중 P가 작용한다. EI는 일정하다. 받침의 반력 R_B을(를) 구하시오.

L = 3 mP = 10 kN 위치 1.5 m

R_B = kN

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 200 GPa (강철)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 35 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 35 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: ε = 1088 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 40·1000/314.2 = 127.3 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 127.3/117000 = 0.001088 = 1088 µε

답

ε = 1088 µε

2.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 20.63 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 70000·1257/300 = 293215 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 100000·293215/1.131 × 10⁶ = 25926 N

응력

σ₂ = 25926/1257 = 20.63 MPa (압축)

답

σ₂ = 20.63 MPa

3.축의 비틀림

답: φ = 1.125 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

비틀림각

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 100000·3000/(80000·190984) = 0.01964 rad

φ = 0.01964·180/π = 1.125°

답

φ = 1.125°

4.축의 비틀림

답: T_A = 1111 N·m

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 T_A + T_B = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

T_A + T_B = 2000

T_A·a = T_B·b

T_A = 2000·1.5/2.7 = 1111 N·m

T_B = 2000·1.2/2.7 = 888.9 N·m

답

T_A = 1111 N·m

5.전단력과 휨 모멘트

답: M_A = −23 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

자유단 쪽 부분을 남긴다

P: −30·0.5 = −15 kN·m

w: −4·2²/2 = −8 kN·m

M_A = −15 − 8 = −23 kN·m

답

M_A = −23 kN·m

음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 21 kN·m

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·2 + 3·5·2.5

R_B = 57.5/5 = 11.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 11.5 = 13.5 kN

x = 2 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 13.5·2 − 3·2·1 = 21 kN·m

답

M_x = 21 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 54.05 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 I_c = bh³/12, 원은 I_c = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (30000·75 − 1963·105)/(30000 − 1963) = 72.9 mm

ȳ에 대한 전체 판

200·150³/12 + 30000·2.101² = 56.38 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

π·50⁴/64 + 1963·32.1² = 2.33 × 10⁶ mm⁴

빼기

I_x = 54.05 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 54.05 × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_아래 = 79.83 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

웨브: A_w = 20·220 = 4400 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·225 + 4400·110)/6600 = 148.3 mm

평행축 정리

플랜지: 220·10³/12 + 2200·(225 − 148.3)² = 1.295 × 10⁷ mm⁴

웨브: 20·220³/12 + 4400·(110 − 148.3)² = 2.421 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.295 × 10⁷ + 2.421 × 10⁷ = 3.716 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.

y = 148.3 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·148.3/3.716 × 10⁷ = 79.83 MPa

답

σ_아래 = 79.83 MPa

9.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 76.16 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

모어 원의 반지름

τ_max = R = √(((100 − −40)/2)² + 30²) = 76.16 MPa

답

τ_max = 76.16 MPa

10.모어 원과 응력 변환

답: τ_θ = 20 MPa

변환 식

τ_θ = −0·0.866 + −40·−0.5 = 20 MPa

답

τ_θ = 20 MPa

11.보의 처짐

답: θ_A = 0.004229 rad

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 처짐각 θ = dv/dx는 M/(EI)를 한 번 적분한 것이며, 단위를 일관되게 쓰면 라디안으로 나옵니다.

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

끝 처짐각

θ_A = wL³/(24EI) = 15·3000³/(24·3.99 × 10¹²) = 0.004229 rad

답

θ_A = 0.004229 rad

0.2423°입니다.

12.보의 처짐

답: R_B = 3.125 kN

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 R_B만으로 자유단은 R_BL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·10/16 = 3.125 kN

답

R_B = 3.125 kN

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 78.96 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·1000 = 1000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/1000² = 78957 N = 78.96 kN

답

P_cr = 78.96 kN

14.기둥의 좌굴

답: d = 46.1 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2·35000 = 70000 N

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·70000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 46.1 mm

답

d = 46.1 mm

확인: 세장비 KL/r는 216.9이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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