축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
구리 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 70 kNd = 30 mmL = 2.5 mE = 117 GPa
ε = µε
2.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 110 kN구간 1: Ø25 mm, 1 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1.5 m, 강철 (E = 200 GPa)
δ = mm
3.축의 비틀림보통
알루미늄 중공축(바깥지름 30 mm, 안지름 21 mm, 길이 0.5 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 200 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.
T = 200 N·mdo = 30 mmdi = 21 mmL = 0.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 빈 축이 1000 rpm에서 50 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
P = 50 kWN = 1000 rpmdo = 80 mmdi = 48 mm
τmax = MPa
5.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 5 m인 단면의 전단력 Vx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 8 mw = 5 kN/m, 0부터 8 m까지x = 5 m
Vx = kN
6.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 2.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 5 mP = 55 kN 위치 3.5 mw = 2 kN/m, 0부터 5 m까지x = 2.5 m
Mx = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
200 mm × 150 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 40 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 97.5 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 200 mmh = 150 mmd = 40 mm구멍 중심: y = 97.5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 50 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ아래을(를) 구하시오.
bf = 260 mmtf = 25 mmtw = 10 mmhw = 220 mmM = 50 kN·m
σ아래 = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 140 MPa, σᵧ = −20 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.
σx = 140 MPaσy = −20 MPaτxy = 20 MPa
θp = °
10.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −30 MPa, σᵧ = 120 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 30° 회전한 면의 전단 응력 τθ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).
σx = −30 MPaσy = 120 MPaτxy = −30 MPaθ = 30°
τθ = MPa
11.보의 처짐보통
단순보의 지점 A에서 a = 4 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 하중 아래의 처짐 δP을(를) 구하시오.
P = 28 kNa = 4 mL = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.보의 처짐어려움
단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.
w = 12 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (강철)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 2 mE = 200 GPa (강철)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 6 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm
σcr = MPa
3용액
1.축 응력과 변형률
답: ε = 846.4 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 70·1000/706.9 = 99.03 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 99.03/117000 = 0.0008464 = 846.4 µε
답
ε = 846.4 µε
2.축 응력과 변형률
답: δ = 10.5 mm
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 224.1 MPa
σ2 = 972.6 MPa
구간별 늘음량 더하기
δ1 = σ1L1/E1 = 224.1·1000/70000 = 3.201 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 972.6·1500/200000 = 7.295 mm
δ = δ1 + δ2 = 10.5 mm
답
δ = 10.5 mm
3.축의 비틀림
답: φ = 3.647 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π(30⁴ − 21⁴)/32 = 60428 mm⁴
비틀림각
T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 0.5 m = 500 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 200000·500/(26000·60428) = 0.06365 rad
φ = 0.06365·180/π = 3.647°
답
φ = 3.647°
4.축의 비틀림
답: τmax = 5.457 MPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 50000/104.7 = 477.5 N·m
극관성 모멘트
J = π(80⁴ − 48⁴)/32 = 3.5 × 10⁶ mm⁴
최대 전단 응력
τmax = T·(do/2)/J = 477465·40/3.5 × 10⁶ = 5.457 MPa
답
τmax = 5.457 MPa
5.전단력과 휨 모멘트
답: Vx = −5 kN
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 5·8·4
RB = 160/8 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
x = 5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
V = RA − (절단면 왼쪽의 모든 아래 방향 하중)
Vx = 20 − 5·5 = −5 kN
답
Vx = −5 kN
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 47.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 55·3.5 + 2·5·2.5
RB = 217.5/5 = 43.5 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 43.5 = 21.5 kN
x = 2.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 21.5·2.5 − 2·2.5·1.25 = 47.5 kN·m
답
Mx = 47.5 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 55.46 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (30000·75 − 1257·97.5)/(30000 − 1257) = 74.02 mm
ȳ에 대한 전체 판
200·150³/12 + 30000·0.9837² = 56.28 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·40⁴/64 + 1257·23.48² = 0.8187 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 55.46 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 55.46 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: σ아래 = 297.4 MPa
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 260·25 = 6500 mm², yf = 220 + 25/2 = 232.5 mm
웨브: Aw = 10·220 = 2200 mm², yw = 220/2 = 110 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6500·232.5 + 2200·110)/8700 = 201.5 mm
평행축 정리
플랜지: 260·25³/12 + 6500·(232.5 − 201.5)² = 6.576 × 10⁶ mm⁴
웨브: 10·220³/12 + 2200·(110 − 201.5)² = 2.73 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6.576 × 10⁶ + 2.73 × 10⁷ = 3.388 × 10⁷ mm⁴
휨 응력
아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.
y = 201.5 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·201.5/3.388 × 10⁷ = 297.4 MPa
답
σ아래 = 297.4 MPa
9.모어 원과 응력 변환
답: θp = 7.018 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.
2θp = atan2(2·20, 140 − −20) = 14.04°
요소에서의 각도
θp = 7.018°
답
θp = 7.018°
반시계 방향 각도가 양입니다.
10.모어 원과 응력 변환
답: τθ = 49.95 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
τθ = −−75·0.866 + −30·0.5 = 49.95 MPa
답
τθ = 49.95 MPa
11.보의 처짐
답: δP = 5.079 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 28000 N, a = 4000 mm, b = 1000 mm, L = 5000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²
하중 아래의 처짐
δP = Pa²b²/(3EIL) = 28000·4000²·1000²/(3·5.88 × 10¹²·5000) = 5.079 mm
답
δP = 5.079 mm
12.보의 처짐
답: Ireq = 18 × 10⁶ mm⁴
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
처짐 한계
δallow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm
필요한 단면 2차 모멘트
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·4000⁴/(384·200000·11.11) = 1.8 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 18 × 10⁶ mm⁴
답
Ireq = 18 × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 67.14 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.7·2000 = 1400 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/1400² = 67140 N = 67.14 kN
답
Pcr = 67.14 kN
14.기둥의 좌굴
답: σcr = 8.567 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/12.5 = 480
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8.567 MPa
답
σcr = 8.567 MPa
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials