재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
P = ?12400 mm300 mmØ25Ø30δ = 0.3 mm

막대가 강철 구간(지름 25 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 300 mm, E = 120 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.3 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø30 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
2.축 응력과 변형률어려움
Ø 30 mm알루미늄1 mØ 16 mm강철0.5 mP = 110 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 110 kN구간 1: Ø30 mm, 1 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø16 mm, 0.5 m, 강철 (E = 200 GPa)
δ = mm
3.축의 비틀림보통
d = 10 mmT = 20 N·m250 mmφ = 3.65°

비틀림 시험에서 지름 10 mm인 속이 찬 시편에 토크 20 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 250 mm의 양 끝이 서로 3.65° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.

T = 20 N·md = 10 mmL = 250 mmφ = 3.65°
G = GPa
4.축의 비틀림어려움
d = ?30 kW, 500 rpm

속이 찬 황동 축이 500 rpm에서 30 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 80 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 1°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 30 kWN = 500 rpmτallow = 80 MPaθallow = 1°/mG = 39 GPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
10 kN10 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

10 kN @ 4 m10 kN @ 1 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 10 kN/mP = 10 kNAB6 m4 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용하고 집중 하중 P도 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.

L = 10 mP = 10 kN 위치 6 mw = 10 kN/m, 0부터 10 m까지
Mmax = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
150 mm200 mm70 mmØ30xIx​ = ?

150 mm × 200 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 30 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 70 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 150 mmh = 200 mmd = 30 mm구멍 중심: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
2801028010xM = 5 kN·m치수 단위: mm

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 5 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ아래을(를) 구하시오.

bf = 280 mmtf = 10 mmtw = 10 mmhw = 280 mmM = 5 kN·m
σ아래 = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = −30σy​ = −80τxy​ = −10MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −30 MPa, σᵧ = −80 MPa, τₓᵧ = −10 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

σx = −30 MPaσy = −80 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = −60σy​ = 120τxy​ = 60MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −60 MPa, σᵧ = 120 MPa, τₓᵧ = 60 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 30° 회전한 면의 전단 응력 τθ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).

σx = −60 MPaσy = 120 MPaτxy = 60 MPaθ = 30°
τθ = MPa
11.보의 처짐보통
w = 6 kN/mδL = 5 m

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
P = 15 kNAB4 m4 m

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 경간 중앙에 집중 하중 P가 작용한다. EI는 일정하다. 고정단의 휨 모멘트 크기 MA을(를) 구하시오.

L = 8 mP = 15 kN 위치 4 m
MA = kN·m
13.기둥의 좌굴보통
PL = 4 md = 30 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 200 GPa (강철)d = 30 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
P = 75 kNL = 5 md = ?단면

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 75 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 75 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: P = 39.42 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 706.9 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490.9) = 4.074 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·706.9) = 3.537 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.3/7.611 × 10⁻⁶ = 39416 N = 39.42 kN

답

P = 39.42 kN
2.축 응력과 변형률

답: δ = 3.591 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 155.6 MPa
σ2 = 547.1 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ1 = σ1L1/E1 = 155.6·1000/70000 = 2.223 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 547.1·500/200000 = 1.368 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.591 mm

답

δ = 3.591 mm
3.축의 비틀림

답: G = 79.95 GPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트와 각

J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴
φ = 3.65·π/180 = 0.0637 rad

전단 탄성 계수

T = 20 N·m = 20000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 20000·250/(981.7·0.0637) = 79947 MPa
G = 79.95 GPa

답

G = 79.95 GPa

비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.

4.축의 비틀림

답: d = 54.11 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 30000/52.36 = 573 N·m

강도 기준 지름

T = 573 N·m = 572958 N·mm
dτ = ∛(16·572958/(π·80)) = 33.16 mm

강성 기준 지름

θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·572958/(π·39000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 54.11 mm

지배 지름

두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.

d = max(33.16, 54.11) = 54.11 mm

답

d = 54.11 mm

여기서는 강성이 지배합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 4 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 11.67 kN, R2 = 8.333 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 11.67, MC = 13.33, MD = 15, ME = 16.67 kN·m, MF = 8.333, MG = 0

답

표시점 E: ME = 16.67 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: Mmax = 145.8 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·6 + 10·10·5
RB = 560/10 = 56 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 56 = 54 kN

V = 0인 곳은?

RA − w·x0 = 0 → x0 = 54/10 = 5.4 m

최대 모멘트

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 54·5.4 − 10·5.4²/2 = 145.8 kN·m

답

Mmax = 145.8 kN·m

A에서 x = 5.4 m인 곳에서 생깁니다.

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 99.31 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (30000·100 − 706.9·70)/(30000 − 706.9) = 100.7 mm

ȳ에 대한 전체 판

150·200³/12 + 30000·−0.7239² = 100 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

π·30⁴/64 + 706.9·−30.72² = 0.707 × 10⁶ mm⁴

빼기

Ix = 99.31 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 99.31 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ아래 = 22.25 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 280·10 = 2800 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
웨브: Aw = 10·280 = 2800 mm², yw = 280/2 = 140 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2800·285 + 2800·140)/5600 = 212.5 mm

평행축 정리

플랜지: 280·10³/12 + 2800·(285 − 212.5)² = 1.474 × 10⁷ mm⁴
웨브: 10·280³/12 + 2800·(140 − 212.5)² = 3.301 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.474 × 10⁷ + 3.301 × 10⁷ = 4.775 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.

y = 212.5 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·212.5/4.775 × 10⁷ = 22.25 MPa

답

σ아래 = 22.25 MPa
9.모어 원과 응력 변환

답: τmax = 26.93 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCτmax​

모어 원의 반지름

τmax = R = √(((−30 − −80)/2)² + −10²) = 26.93 MPa

답

τmax = 26.93 MPa
10.모어 원과 응력 변환

답: τθ = 107.9 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

τθ = −−90·0.866 + 60·0.5 = 107.9 MPa

답

τθ = 107.9 MPa
11.보의 처짐

답: δ = 55.8 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 5000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

처짐

δ = wL⁴/(8EI) = 6·5000⁴/(8·8.4 × 10¹²) = 55.8 mm

답

δ = 55.8 mm
12.보의 처짐

답: MA = 22.5 kN·m

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·15/16 = 4.688 kN

고정단의 모멘트

하중과 받침력의 A에 대한 모멘트.

MA = P·L/2 − RB·L = 60 − 37.5 = 22.5 kN·m

답

MA = 22.5 kN·m
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 10.01 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2800² = 10011 N = 10.01 kN

답

Pcr = 10.01 kN
14.기둥의 좌굴

답: d = 94.95 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 3·75000 = 225000 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 94.95 mm

답

d = 94.95 mm

확인: 세장비 KL/r는 147.4이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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