축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 황동 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 30 kNd = 16 mmL = 2 mE = 100 GPa
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 30 kN구간 1: Ø30 mm, 2 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1.5 m, 황동 (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.축의 비틀림보통
단이 진 속이 찬 알루미늄 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 50 mm, 길이 2.5 m이고, 구간 BC는 지름 40 mm, 길이 0.5 m이다. 자유단 C에 토크 200 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φC을(를) 도(°)로 구하시오.
T = 200 N·md1 = 50 mm, L1 = 2.5 md2 = 40 mm, L2 = 0.5 mG = 26 GPa
φC = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 1500 rpm에서 5 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 50 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 5 kWN = 1500 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
45 kN @ 6 m20 kN @ 8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 2 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. A에서 지점 사이의 반곡점(휨 모멘트의 부호가 바뀌는 점)까지의 거리 xc을(를) 구하시오.
L = 10 mw = 4 kN/m, 0부터 10 m까지x = 0과 x = 8 m에 지점
xc = m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 300 mmtf = 15 mmtw = 12 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
주철 보는 그림과 같은 T형 단면이며 플랜지가 위에 있다. 허용 응력은 인장 30 MPa, 압축 90 MPa이다. 보가 견딜 수 있는 최대 정(正) 휨 모멘트 Mallow을(를) 구하시오.
bf = 220 mmtf = 10 mmtw = 12 mmhw = 280 mmσt,allow = 30 MPaσc,allow = 90 MPa
Mallow = kN·m
9.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 0 MPa, σᵧ = 30 MPa이다. 최대 주응력이 45 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τxy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?
σx = 0 MPaσy = 30 MPaσ1 = 45 MPa
τxy = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −60 MPa, σᵧ = 0 MPa, τₓᵧ = 10 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 20° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.
σx = −60 MPaσy = 0 MPaτxy = 10 MPaθ = -20°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가, 자유단에 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.
P = 25 kNw = 6 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
단순보에 등분포 하중 w와 경간 중앙의 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 중앙 처짐 δmax을(를) 구하시오.
P = 6 kNw = 12 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (강철)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 60 mm
σcr = MPa
3용액
1.축 응력과 변형률
답: δ = 2.984 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 30·1000/201.1 = 149.2 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 149.2/100000 = 0.001492 = 1492 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.001492·2000 mm = 2.984 mm
답
δ = 2.984 mm
2.축 응력과 변형률
답: σmax = 95.49 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 42.44 MPa
σ2 = 95.49 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 95.49 MPa
답
σmax = 95.49 MPa
3.축의 비틀림
답: φC = 2.673 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J1 = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
J2 = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
각 구간의 비틀림각
T = 200 N·m = 200000 N·mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 200000·2500/(26000·613592) = 0.03134 rad
φBC = 200000·500/(26000·251327) = 0.0153 rad
전체 비틀림각
φC = 0.03134 + 0.0153 = 0.04664 rad = 2.673°
답
φC = 2.673°
4.축의 비틀림
답: d = 14.8 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 5000/157.1 = 31.83 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·31831/(π·50)) = 14.8 mm
답
d = 14.8 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: D (x = 6 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 29.17 kN, R2 = 35.83 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = 58.33, MC = 116.7, MD = 175 kN·m, ME = 143.3, MF = 71.67, MG = 0
답
표시점 D: MD = 175 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: xc = 7.5 m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 4·10·5
RB = 200/8 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 25 = 15 kN
모멘트 0
지점 사이에서 M(x) = RA·x − w·x²/2. x = 0을 제외하면 x = 2RA/w에서 0이 됩니다.
RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·15/4 = 7.5 m
답
xc = 7.5 m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 42.46 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 300·15 = 4500 mm², yf = 240 + 15/2 = 247.5 mm
웨브: Aw = 12·240 = 2880 mm², yw = 240/2 = 120 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4500·247.5 + 2880·120)/7380 = 197.7 mm
평행축 정리
플랜지: 300·15³/12 + 4500·(247.5 − 197.7)² = 1.122 × 10⁷ mm⁴
웨브: 12·240³/12 + 2880·(120 − 197.7)² = 3.123 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.122 × 10⁷ + 3.123 × 10⁷ = 4.246 × 10⁷ mm⁴ = 42.46 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 42.46 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: Mallow = 7.588 kN·m
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
도심
ȳ = (2200·285 + 3360·140)/5560 = 197.4 mm
윗면 가장자리: c = 290 − 197.4 = 92.63 mm
단면 2차 모멘트
I = 220·10³/12 + 2200·87.63² + 12·280³/12 + 3360·57.37² = 4.992 × 10⁷ mm⁴
각 가장자리가 허용하는 모멘트
정모멘트: 위는 압축, 아래는 인장입니다.
윗면 가장자리: M = 90·4.992 × 10⁷/92.63 = 48.51 kN·m
아랫면 가장자리: M = 30·4.992 × 10⁷/197.4 = 7.588 kN·m
지배 값
Mallow = min = 7.588 kN·m (아랫면 가장자리)
답
Mallow = 7.588 kN·m
9.모어 원과 응력 변환
답: τxy = 25.98 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
필요한 반지름
C = (0 + 30)/2 = 15 MPa
R = σ1 − C = 45 − 15 = 30 MPa
전단 응력
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(30² − 15²) = 25.98 MPa
답
τxy = 25.98 MPa
10.모어 원과 응력 변환
답: σθ = −59.41 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
σθ = −30 + −30·0.766 + 10·−0.6428 = −59.41 MPa
답
σθ = −59.41 MPa
11.보의 처짐
답: δ = 18.14 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 25000 N, w = 6 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
각 하중을 따로
δP = PL³/(3EI) = 25000·1500³/(3·1.76 × 10¹²) = 15.98 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 6·1500⁴/(8·1.76 × 10¹²) = 2.157 mm
더하기
δ = 15.98 + 2.157 = 18.14 mm
답
δ = 18.14 mm
12.보의 처짐
답: δmax = 10.43 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 6000 N, w = 12 N/mm, L = 4000 mm, EI = 4.6 × 10¹² N·mm²
각 하중을 따로
δP = PL³/(48EI) = 6000·4000³/(48·4.6 × 10¹²) = 1.739 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 8.696 mm
더하기
δmax = 1.739 + 8.696 = 10.43 mm
답
δmax = 10.43 mm
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 197.7 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1750² = 197744 N = 197.7 kN
답
Pcr = 197.7 kN
14.기둥의 좌굴
답: σcr = 17.27 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·1500 = 3000 mm
KL/r = 3000/15 = 200
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa
답
σcr = 17.27 MPa
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