재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
Ø 12 mm구리0.5 mP = 10 kN

축하중을 받는 구리 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 10 kNd = 12 mmL = 0.5 mE = 117 GPa
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
Ø 30 mm구리1 mØ 12 mm황동1 mP = 40 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.

P = 40 kN구간 1: Ø30 mm, 1 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1 m, 황동 (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.축의 비틀림보통
T = 750 N·md = 50 mmL = 3 mφ = ?

알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 750 N·md = 50 mmL = 3 mG = 26 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
Td = ?

속이 찬 축이 3000 rpm에서 100 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 60 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 100 kWN = 3000 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
P1​ = 50 kNP2​ = 45 kNABC5 m3 m1 m

보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1 m만큼 내밀어져 있다. 지점 사이에 집중 하중 P1, C에 집중 하중 P2이 작용한다. 지점 B 바로 왼쪽의 전단력 Vx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 9 mP1 = 50 kN 위치 5 mP2 = 45 kN 위치 9 mx = 0과 x = 8 m에 지점
Vx = kN
6.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 2 kN/mP = 25 kNAB단면1 m4 m

지점 A에서 x = 1 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 5 mP = 25 kN 위치 1 mw = 2 kN/m, 0부터 5 m까지x = 1 m
Mx = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
300180t = 18ȳ = ?치수 단위: mm

ㄷ형강 단면이 열린 쪽을 위로 하여 놓여 있다. 폭 300 mm의 밑판에 두 개의 세운 다리가 있으며 전체 높이는 180 mm이다. 밑판과 다리의 두께는 모두 18 mm이다. 밑변에서 도심까지의 높이 ȳ을(를) 구하시오.

b = 300 mmh = 180 mmt = 18 mm
ȳ = mm
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
150 mm300 mm210 mm80 × 20xIx​ = ?

150 mm × 300 mm 판에 폭 80 mm, 높이 20 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 210 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 150 mmh = 300 mm절취부: 80 × 20 mm구멍 중심: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 50σy​ = 90τxy​ = −40MPa

한 점에서 σₓ = 50 MPa, σᵧ = 90 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 반시계 방향 15° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σy′을(를) 구하시오.

σx = 50 MPaσy = 90 MPaτxy = −40 MPaθ = 15°
σy′ = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
60°D = 1500 mm, t = 6 mm, p = 1 MPap

안지름 1500 mm, 벽 두께 6 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 1 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 60°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매에 수직으로 작용하는 수직 응력 σn을(를) 구하시오.

D = 1500 mmt = 6 mmp = 1 MPaα = 60°
σn = MPa
11.보의 처짐보통
w = 8 kN/mδL = 2 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.보의 처짐어려움
P = 24 kNABδ4 m2 m

단순보의 지점 B에서 b = 2 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 경간 중앙의 처짐 δmid을(를) 구하시오.

P = 24 kNb = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (강철)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
13.기둥의 좌굴보통
PL = 2.5 m25 × 60 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
P = 65 kNL = 1.5 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 65 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 65 kNn = 2L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)
d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.3779 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 10·1000/113.1 = 88.42 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 88.42/117000 = 0.0007557 = 755.7 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.0007557·500 mm = 0.3779 mm

답

δ = 0.3779 mm
2.축 응력과 변형률

답: σmax = 353.7 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 56.59 MPa
σ2 = 353.7 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σmax = 353.7 MPa

답

σmax = 353.7 MPa
3.축의 비틀림

답: φ = 8.081 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 750·1000·3000/(26000·613592) = 0.141 rad
φ = 0.141·180/π = 8.081°

답

φ = 8.081°
4.축의 비틀림

답: d = 30.01 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
T = P/ω = 100000/314.2 = 318.3 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·318310/(π·60)) = 30.01 mm

답

d = 30.01 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: Vx = −36.88 kN

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형입니다. 내민 부분의 하중도 A에 대해 모멘트를 만듭니다.

ΣMA = 0: RB·8 = 50·5 + 45·9
RB = 655/8 = 81.88 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 81.88 = 13.13 kN

B 바로 왼쪽에서 자르고 왼쪽 부분을 남긴다

Vx = RA − P1 = 13.13 − 50 = −36.88 kN

답

Vx = −36.88 kN
6.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 24 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 25·1 + 2·5·2.5
RB = 50/5 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 10 = 25 kN
w = 2 kN/mP = 25 kNABRA​ = 25RB​ = 10단면1 m4 m

x = 1 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 25·1 − 2·1·0.5 = 24 kN·m

답

Mx = 24 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: ȳ = 55.73 mm

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

직사각형으로 나누기

밑판은 전체 폭으로, 두 다리는 그 위의 높이(h − t)로 잡으면 중복 계산이 없습니다.

기제: A1 = 300·18 = 5400 mm², y1 = 9 mm
두 다리: A2 = 2·18·162 = 5832 mm², y2 = 18 + 162/2 = 99 mm

도심

ȳ = (5400·9 + 5832·99)/11232 = 55.73 mm

답

ȳ = 55.73 mm
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 331.5 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (45000·150 − 1600·210)/(45000 − 1600) = 147.8 mm

ȳ에 대한 전체 판

150·300³/12 + 45000·2.212² = 337.7 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

80·20³/12 + 1600·62.21² = 6.246 × 10⁶ mm⁴

빼기

Ix = 331.5 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 331.5 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환

답: σy′ = 107.3 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

y′ 면의 변환 공식

σy′ = 70 − (−20)·0.866 − (−40)·0.5 = 107.3 MPa

검산

수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.

σx′ = 32.68 MPa, σx′ + σy′ = 140 = σx + σy

답

σy′ = 107.3 MPa
10.모어 원과 응력 변환

답: σn = 78.13 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σh = pr/t, 축 응력 σa = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 1500/2 = 750 mm
σh = pr/t = 1·750/6 = 125 MPa
σa = pr/(2t) = 62.5 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σa), y를 원주 방향(σh)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

σn = 62.5·sin²60° + 125·cos²60° = 78.13 MPa

답

σn = 78.13 MPa
11.보의 처짐

답: δmax = 12.63 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.32 × 10¹¹ N·mm²

처짐

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2000⁴/(384·1.32 × 10¹¹) = 12.63 mm

답

δmax = 12.63 mm
12.보의 처짐

답: δmid = 12.78 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 24000 N, b = 2000 mm, L = 6000 mm
EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

경간 중앙의 처짐

δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 24000·2000·(3·6000² − 4·2000²)/(48·7.2 × 10¹²) = 12.78 mm

답

δmid = 12.78 mm
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 34.54 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/1250² = 34544 N = 34.54 kN

답

Pcr = 34.54 kN
14.기둥의 좌굴

답: d = 58.95 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2·65000 = 130000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 58.95 mm

답

d = 58.95 mm

확인: 세장비 KL/r는 203.6이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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