축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 500 mm, E = 100 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.2 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
2.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 20 kN구간 1: Ø40 mm, 2 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1.5 m, 강철 (E = 200 GPa)
δ = mm
3.축의 비틀림보통
비틀림 시험에서 지름 20 mm인 속이 찬 시편에 토크 30 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 300 mm의 양 끝이 서로 0.84° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.
T = 30 N·md = 20 mmL = 300 mmφ = 0.84°
G = GPa
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 1500 rpm에서 5 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 5 kWN = 1500 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1 m만큼 내밀어져 있다. 지점 사이에 집중 하중 P1, C에 집중 하중 P2이 작용한다. 지점 B 바로 왼쪽의 전단력 Vx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 7 mP1 = 30 kN 위치 5 mP2 = 20 kN 위치 7 mx = 0과 x = 6 m에 지점
Vx = kN
6.전단력과 휨 모멘트어려움
단순보의 경간 일부에 등분포 하중이 작용한다. A에서 휨 모멘트가 가장 큰 단면까지의 거리 x0을(를) 구하시오.
L = 6 mw = 10 kN/m, 2부터 4 m까지
x0 = m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
200 mm × 200 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 60 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 70 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 200 mmh = 200 mmd = 60 mm구멍 중심: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 20 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ아래을(를) 구하시오.
bf = 240 mmtf = 20 mmtw = 10 mmhw = 220 mmM = 20 kN·m
σ아래 = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 140 MPa, σᵧ = −60 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 반시계 방향 40° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σy′을(를) 구하시오.
σx = 140 MPaσy = −60 MPaτxy = −40 MPaθ = 40°
σy′ = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 80 MPa, σᵧ = −20 MPa, τₓᵧ = 60 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 15° 회전한 면의 전단 응력 τθ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).
σx = 80 MPaσy = −20 MPaτxy = 60 MPaθ = 15°
τθ = MPa
11.보의 처짐보통
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.
w = 15 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.보의 처짐어려움
단순보의 3등분점(각 지점에서 L/3)에 같은 집중 하중 P 두 개가 작용한다. 중첩을 이용해 경간 중앙의 처짐 δmax을(를) 구하시오.
P = 14 kNL = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 4 mE = 200 GPa (강철)d = 30 mm
σcr = MPa
3용액
1.축 응력과 변형률
답: P = 43.5 kN
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
A₁ = 706.9 mm², A₂ = 2827 mm²
유연도
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706.9) = 2.829 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·2827) = 1.768 × 10⁻⁶ mm/N
하중
P = 0.2/4.598 × 10⁻⁶ = 43499 N = 43.5 kN
답
P = 43.5 kN
2.축 응력과 변형률
답: δ = 0.9322 mm
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 15.92 MPa
σ2 = 63.66 MPa
구간별 늘음량 더하기
δ1 = σ1L1/E1 = 15.92·2000/70000 = 0.4547 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 63.66·1500/200000 = 0.4775 mm
δ = δ1 + δ2 = 0.9322 mm
답
δ = 0.9322 mm
3.축의 비틀림
답: G = 39.08 GPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트와 각
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 0.84·π/180 = 0.01466 rad
전단 탄성 계수
T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·300/(15708·0.01466) = 39081 MPa
G = 39.08 GPa
답
G = 39.08 GPa
비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.
4.축의 비틀림
답: d = 12.93 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 5000/157.1 = 31.83 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·31831/(π·75)) = 12.93 mm
답
d = 12.93 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: Vx = −28.33 kN
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형입니다. 내민 부분의 하중도 A에 대해 모멘트를 만듭니다.
ΣMA = 0: RB·6 = 30·5 + 20·7
RB = 290/6 = 48.33 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 48.33 = 1.667 kN
B 바로 왼쪽에서 자르고 왼쪽 부분을 남긴다
Vx = RA − P1 = 1.667 − 30 = −28.33 kN
답
Vx = −28.33 kN
6.전단력과 휨 모멘트
답: x0 = 3 m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·2·3
RB = 60/6 = 10 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 10 = 10 kN
전단력 0
전단력은 RA에서 시작해 하중이 없는 구간에서는 일정하고, 하중 구간 안에서는 기울기 w로 감소합니다.
RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 10/10 = 3 m
답
x0 = 3 m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 130 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (40000·100 − 2827·70)/(40000 − 2827) = 102.3 mm
ȳ에 대한 전체 판
200·200³/12 + 40000·−2.282² = 133.5 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·60⁴/64 + 2827·−32.28² = 3.583 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 130 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 130 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: σ아래 = 125 MPa
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 240·20 = 4800 mm², yf = 220 + 20/2 = 230 mm
웨브: Aw = 10·220 = 2200 mm², yw = 220/2 = 110 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4800·230 + 2200·110)/7000 = 192.3 mm
평행축 정리
플랜지: 240·20³/12 + 4800·(230 − 192.3)² = 6.987 × 10⁶ mm⁴
웨브: 10·220³/12 + 2200·(110 − 192.3)² = 2.377 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6.987 × 10⁶ + 2.377 × 10⁷ = 3.076 × 10⁷ mm⁴
휨 응력
아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.
y = 192.3 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·192.3/3.076 × 10⁷ = 125 MPa
답
σ아래 = 125 MPa
9.모어 원과 응력 변환
답: σy′ = 62.03 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
y′ 면의 변환 공식
σy′ = 40 − 100·0.1736 − (−40)·0.9848 = 62.03 MPa
검산
수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.
σx′ = 17.97 MPa, σx′ + σy′ = 80 = σx + σy
답
σy′ = 62.03 MPa
10.모어 원과 응력 변환
답: τθ = 26.96 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
τθ = −50·0.5 + 60·0.866 = 26.96 MPa
답
τθ = 26.96 MPa
11.보의 처짐
답: δmax = 1.912 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 15 N/mm, L = 2500 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²
처짐
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2500⁴/(384·3.99 × 10¹²) = 1.912 mm
답
δmax = 1.912 mm
12.보의 처짐
답: δmax = 53.45 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 14000 N, L = 4000 mm
EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²
L/3의 하중 하나
δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm
δ₁ = 26.72 mm
두 하중 더하기
δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 53.45 mm
답
δmax = 53.45 mm
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 4.606 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 2·4000 = 8000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/8000² = 4606 N = 4.606 kN
답
Pcr = 4.606 kN
14.기둥의 좌굴
답: σcr = 14.16 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
KL/r = 2800/7.5 = 373.3
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/373.3² = 14.16 MPa
답
σcr = 14.16 MPa
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