재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
Ø 12 mm알루미늄2 mP = 110 kN

알루미늄 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 110 kNd = 12 mmL = 2 mE = 70 GPa
ε = µε
2.축 응력과 변형률어려움
80 kN12400 mm500 mmØ30Ø30σ2​ = ?

강철 구간(지름 30 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 500 mm, E = 120 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 80 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
3.축의 비틀림보통
d1​ = 40 mmd2​ = 30 mmT = 250 N·mABC0.8 m1 m

단이 진 속이 찬 황동 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 40 mm, 길이 0.8 m이고, 구간 BC는 지름 30 mm, 길이 1 m이다. 자유단 C에 토크 250 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φC을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 250 N·md1 = 40 mm, L1 = 0.8 md2 = 30 mm, L2 = 1 mG = 39 GPa
φC = °
4.축의 비틀림어려움
d = 50 mmT0​ = 1000 N·mACBa = 3 mb = 2.5 m

지름 50 mm인 속이 찬 알루미늄 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 3 m, B에서 2.5 m 떨어진 C에 토크 1000 N·m이(가) 가해진다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

d = 50 mmT0 = 1000 N·ma = 3 mb = 2.5 m
τmax = MPa
5.전단력과 휨 모멘트보통
20 kN10 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

20 kN @ 4 m10 kN @ 1 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
8 kN/m20 kN50 kN20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

20 kN @ 0 m50 kN @ 12 m20 kN @ 4 m8 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
150 mm200 mm120 mmØ60xIx​ = ?

150 mm × 200 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 60 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 120 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 150 mmh = 200 mmd = 60 mm구멍 중심: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
1602018018xM = 40 kN·m치수 단위: mm

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 40 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ아래을(를) 구하시오.

bf = 160 mmtf = 20 mmtw = 18 mmhw = 180 mmM = 40 kN·m
σ아래 = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = −20σy​ = 90τxy​ = 20MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −20 MPa, σᵧ = 90 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

σx = −20 MPaσy = 90 MPaτxy = 20 MPa
τmax = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 100σy​ = 70τxy​ = 50MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 100 MPa, σᵧ = 70 MPa, τₓᵧ = 50 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 45° 회전한 면의 전단 응력 τθ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).

σx = 100 MPaσy = 70 MPaτxy = 50 MPaθ = -45°
τθ = MPa
11.보의 처짐보통
w = 15 kN/mABθ8 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 A에서 보의 처짐각 θA을(를) 라디안으로 구하시오.

w = 15 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 120 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.보의 처짐어려움
P = 80 kNAB2.5 m2.5 m

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 경간 중앙에 집중 하중 P가 작용한다. EI는 일정하다. 고정단의 휨 모멘트 크기 MA을(를) 구하시오.

L = 5 mP = 80 kN 위치 2.5 m
MA = kN·m
13.기둥의 좌굴보통
PL = 2 md = 40 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
P = 10 kNL = 3 md = ?단면

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 10 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 10 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: ε = 13894 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 110·1000/113.1 = 972.6 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 972.6/70000 = 0.01389 = 13894 µε

답

ε = 13894 µε
2.축 응력과 변형률

답: σ2 = 36.71 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·706.9/400 = 353429 N/mm
k₂ = 120000·706.9/500 = 169646 N/mm

구간 2의 몫

F2 = 80000·169646/523075 = 25946 N

응력

σ2 = 25946/706.9 = 36.71 MPa (압축)

답

σ2 = 36.71 MPa
3.축의 비틀림

답: φC = 5.788 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J1 = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
J2 = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

각 구간의 비틀림각

T = 250 N·m = 250000 N·mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 250000·800/(39000·251327) = 0.0204 rad
φBC = 250000·1000/(39000·79522) = 0.08061 rad

전체 비틀림각

φC = 0.0204 + 0.08061 = 0.101 rad = 5.788°

답

φC = 5.788°
4.축의 비틀림

답: τmax = 22.22 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 TA + TB = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

TA + TB = 1000
TA·a = TB·b
TA = 1000·2.5/5.5 = 454.5 N·m
TB = 1000·3/5.5 = 545.5 N·m

최대 전단 응력

두 토크 중 큰 값이 지배합니다(지름이 같음).

τmax = 16·545455/(π·50³) = 22.22 MPa

답

τmax = 22.22 MPa
5.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 4 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 15 kN, R2 = 15 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 15, MC = 20, MD = 25, ME = 30 kN·m, MF = 15, MG = 0

답

표시점 E: ME = 30 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: E (x = 8 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 30.67 kN, R2 = 107.3 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = −40, MC = −34.67, MD = −101.3, ME = −200 kN·m, MF = −100, MG = 0

답

표시점 E: ME = −200 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 98.12 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (30000·100 − 2827·120)/(30000 − 2827) = 97.92 mm

ȳ에 대한 전체 판

150·200³/12 + 30000·2.081² = 100.1 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

π·60⁴/64 + 2827·22.08² = 2.015 × 10⁶ mm⁴

빼기

Ix = 98.12 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 98.12 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ아래 = 223.9 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 160·20 = 3200 mm², yf = 180 + 20/2 = 190 mm
웨브: Aw = 18·180 = 3240 mm², yw = 180/2 = 90 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3200·190 + 3240·90)/6440 = 139.7 mm

평행축 정리

플랜지: 160·20³/12 + 3200·(190 − 139.7)² = 8.206 × 10⁶ mm⁴
웨브: 18·180³/12 + 3240·(90 − 139.7)² = 1.675 × 10⁷ mm⁴
Ix = 8.206 × 10⁶ + 1.675 × 10⁷ = 2.495 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.

y = 139.7 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·139.7/2.495 × 10⁷ = 223.9 MPa

답

σ아래 = 223.9 MPa
9.모어 원과 응력 변환

답: τmax = 58.52 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCτmax​

모어 원의 반지름

τmax = R = √(((−20 − 90)/2)² + 20²) = 58.52 MPa

답

τmax = 58.52 MPa
10.모어 원과 응력 변환

답: τθ = 15 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

τθ = −15·−1 + 50·0 = 15 MPa

답

τθ = 15 MPa
11.보의 처짐

답: θA = 0.0381 rad

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 처짐각 θ = dv/dx는 M/(EI)를 한 번 적분한 것이며, 단위를 일관되게 쓰면 라디안으로 나옵니다.

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 8000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

끝 처짐각

θA = wL³/(24EI) = 15·8000³/(24·8.4 × 10¹²) = 0.0381 rad

답

θA = 0.0381 rad

2.183°입니다.

12.보의 처짐

답: MA = 75 kN·m

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·80/16 = 25 kN

고정단의 모멘트

하중과 받침력의 A에 대한 모멘트.

MA = P·L/2 − RB·L = 200 − 125 = 75 kN·m

답

MA = 75 kN·m
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 126.6 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1400² = 126556 N = 126.6 kN

답

Pcr = 126.6 kN
14.기둥의 좌굴

답: d = 40.16 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2·10000 = 20000 N
KL = 0.7·3000 = 2100 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·20000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 40.16 mm

답

d = 40.16 mm

확인: 세장비 KL/r는 209.2이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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