축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
알루미늄 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 30 kNd = 10 mmL = 1 mE = 70 GPa
ε = µε
2.축 응력과 변형률어려움
강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa, 허용응력 150 MPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 70 mm, E = 100 GPa, 허용응력 100 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.
막대: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPa관: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
3.축의 비틀림보통
길이 1.5 m인 속이 찬 강철 축이 토크 250 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 2°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
T = 250 N·mL = 1.5 mG = 80 GPaφallow = 2°
d = mm
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 황동 축이 750 rpm에서 75 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 80 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 1°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 75 kWN = 750 rpmτallow = 80 MPaθallow = 1°/mG = 39 GPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
단순보에 두 개의 집중 하중이 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.
L = 6 mP1 = 80 kN 위치 1.5 mP2 = 20 kN 위치 3 m
Mmax = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1.5 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 사이의 최대 정(正) 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.
L = 5.5 mw = 8 kN/m, 0부터 5.5 m까지x = 0과 x = 4 m에 지점
Mmax = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
100 mm × 300 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 60 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 180 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 100 mmh = 300 mmd = 60 mm구멍 중심: y = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
200 mm × 200 mm 판에 폭 30 mm, 높이 50 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 130 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 200 mmh = 200 mm절취부: 30 × 50 mm구멍 중심: y = 130 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 110 MPa, σᵧ = 50 MPa이다. 최대 주응력이 140 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τxy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?
σx = 110 MPaσy = 50 MPaσ1 = 140 MPa
τxy = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 110 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = −10 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 30° 회전한 면의 전단 응력 τθ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).
σx = 110 MPaσy = 20 MPaτxy = −10 MPaθ = -30°
τθ = MPa
11.보의 처짐보통
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.
w = 10 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (강철)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.보의 처짐어려움
단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.
w = 4 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 25 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 5 mE = 200 GPa (강철)d = 30 mm
σcr = MPa
3용액
1.축 응력과 변형률
답: ε = 5457 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 30·1000/78.54 = 382 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 382/70000 = 0.005457 = 5457 µε
답
ε = 5457 µε
2.축 응력과 변형률
답: Pmax = 665.6 kN
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·7461 = 8.875 × 10⁸ N
지배 변형률
ε = min(0.00075, 0.001) = 0.00075 (강철)
최대 하중
Pmax = 0.00075·8.875 × 10⁸ = 665625 N = 665.6 kN
답
Pmax = 665.6 kN
3.축의 비틀림
답: d = 34.2 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
필요한 극관성 모멘트
T = 250 N·m = 250000 N·mm
L = 1.5 m = 1500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 2·π/180 = 0.03491 rad
J = TL/(Gφ) = 250000·1500/(80000·0.03491) = 134287 mm⁴
지름
d = (32J/π)1/4 = 34.2 mm
답
d = 34.2 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
4.축의 비틀림
답: d = 61.48 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 75000/78.54 = 954.9 N·m
강도 기준 지름
T = 954.9 N·m = 954930 N·mm
dτ = ∛(16·954930/(π·80)) = 39.32 mm
강성 기준 지름
θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·954930/(π·39000·1.745 × 10⁻⁵))1/4 = 61.48 mm
지배 지름
두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.
d = max(39.32, 61.48) = 61.48 mm
답
d = 61.48 mm
여기서는 강성이 지배합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: Mmax = 105 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
ΣMA = 0: RB·6 = 80·1.5 + 20·3
RB = 180/6 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 30 = 70 kN
각 하중 아래의 모멘트
각 하중의 왼쪽 부분을 남깁니다.
아래 P1: M = RA·1.5 = 70·1.5 = 105 kN·m
아래 P2: M = RB·3 = 30·3 = 90 kN·m
최댓값
Mmax = 105 kN·m (아래 P1)
답
Mmax = 105 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mmax = 11.82 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 8·5.5 = 44 kN, 작용점 x̄ = 2.75 m
ΣMA = 0: RB·4 = 8·5.5·2.75
RB = 121/4 = 30.25 kN
ΣFy = 0: RA = 44 − 30.25 = 13.75 kN
전단력 0
RA − w·x0 = 0 → x0 = 13.75/8 = 1.719 m
최대 정모멘트
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 13.75²/(2·8) = 11.82 kN·m
답
Mmax = 11.82 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 221.6 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (30000·150 − 2827·180)/(30000 − 2827) = 146.9 mm
ȳ에 대한 전체 판
100·300³/12 + 30000·3.122² = 225.3 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·60⁴/64 + 2827·33.12² = 3.738 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 221.6 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 221.6 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 131.6 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (40000·100 − 1500·130)/(40000 − 1500) = 98.83 mm
ȳ에 대한 전체 판
200·200³/12 + 40000·1.169² = 133.4 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
30·50³/12 + 1500·31.17² = 1.77 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 131.6 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 131.6 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환
답: τxy = 51.96 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
필요한 반지름
C = (110 + 50)/2 = 80 MPa
R = σ1 − C = 140 − 80 = 60 MPa
전단 응력
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 30²) = 51.96 MPa
답
τxy = 51.96 MPa
10.모어 원과 응력 변환
답: τθ = 33.97 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
τθ = −45·−0.866 + −10·0.5 = 33.97 MPa
답
τθ = 33.97 MPa
11.보의 처짐
답: δmax = 70.31 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 10 N/mm, L = 6000 mm
EI = 2.4 × 10¹² N·mm²
처짐
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·6000⁴/(384·2.4 × 10¹²) = 70.31 mm
답
δmax = 70.31 mm
12.보의 처짐
답: Ireq = 2.143 × 10⁶ mm⁴
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
처짐 한계
δallow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm
필요한 단면 2차 모멘트
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·2000⁴/(384·70000·5.556) = 2.143 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 2.143 × 10⁶ mm⁴
답
Ireq = 2.143 × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 8.478 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1250² = 8478 N = 8.478 kN
답
Pcr = 8.478 kN
14.기둥의 좌굴
답: σcr = 17.77 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/7.5 = 333.3
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/333.3² = 17.77 MPa
답
σcr = 17.77 MPa
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