수치해석: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

수치해석

이분법: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
뉴턴–랩슨법: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
선형 보간: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
사다리꼴 공식: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
심프슨 공식(n은 짝수): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
사다리꼴 공식의 오차 한계: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
오일러: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
호인법: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

방법

근은 이분법이면 부호 변화를 확인하고, 뉴턴법이면 f와 f′를 계산하며, 반복값의 표에는 여섯 자리 이상을 유지하세요.
표의 값은 이웃한 두 점 사이를 선형으로 보간하세요.
적분은 h = (b − a)/n을 구하고, 모든 절점에서 f를 나열하고, 가중치(사다리꼴은 1, 2, …, 2, 1이고 짝수 n의 심프슨은 1, 4, 2, …, 4, 1)를 적용한 다음 h/2 또는 h/3을 곱하세요.
미분방정식은 t₀에서 yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)(오일러) 또는 평균 기울기(호인)로 단계마다 한 줄씩, 요구된 t에 도달할 때까지 진행하세요.

수열과 급수

등차수열: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
등비수열: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
무한 등비급수: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-급수: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
비율 판정법: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
수렴 반지름: R = lim |c_k/c_k+1|
테일러 다항식: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
매클로린 급수: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
라그랑주 오차 한계: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

방법

종류를 파악하세요: 등차(일정한 차), 등비(일정한 비), 표준 급수, 멱급수, 테일러 다항식.
합에는 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), 또는 |r| < 1일 때 S = a₁/(1 − r)을 쓰세요. a₁은 합의 첫째 항입니다.
수렴은 먼저 n번째 항 판정법을 쓰고, 그다음 Σ1/kᵖ이나 등비급수와 비교하며, 팩토리얼과 k제곱에는 비율 판정법이나 근 판정법을 쓰세요.
테일러 다항식은 f(a), f′(a), f″(a), …를 나열하고, k계 도함수를 k!로 나누며, 오차는 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!로 한정하세요.

행렬과 행렬식

2×2 행렬식: det = ad − bc
2×2 역행렬: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
제품: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
고윳값: det(A − λI) = 0
크라메르 공식: x_i = det(A_i)/det(A)

미분방정식

지수적 성장/감소: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
반감기: k = ln 2 / t_½
뉴턴의 냉각 법칙: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
적분 인자: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
혼합 탱크: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2연습 문제

1.수치해석보통

띠 n = 2개의 사다리꼴 공식으로 ∫₀¹ √x·e^−x dx를 근사하시오. T을(를) 구하시오.

f(x) = √x·e^−x[a, b] = [0, 1]n = 2

T =

2.수치해석어려움

y′ = y − t², y(0) = 2에 대해 h = 0.25으로 오일러법을 써서 y₄ ≈ y(1)를 추정하시오.

y′ = y − t²y(0) = 2h = 0.25

y₄ =

3.수열과 급수보통

합 S = Σ_k=1^∞ 3/(k(k + 4))을(를) 구하시오.

a_k = 3/(k(k + 4))

S =

4.수열과 급수어려움

f(x) = sin x을(를) x = −0.5에서 3차 매클로린 다항식으로 근사한다. M = 1으로 라그랑주 오차 한계 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!을 써서 가능한 최대 오차 |R₃|을(를) 구하시오.

f(x) = sin xn = 3x = −0.5M = 1

|R₃| =

5.행렬과 행렬식보통

주어진 3×3 행렬 A의 행렬식 det A를 구하세요.

A = [5 2 0; −2 4 2; −3 −1 −3]

det A =

6.행렬과 행렬식어려움

주어진 행렬 A의 더 큰 고윳값 λ를 구하세요.

A = [−3 4; −6 8]

λ =

7.미분방정식보통

80 °C의 커피 한 잔을 24 °C인 방에 둡니다. 11분 후 온도는 39 °C입니다. 이것은 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)를 따릅니다. 시작 후 얼마나 지나야(t) 33 °C에 도달하나요?

T₀ = 80 °CT_a = 24 °CT(11) = 39 °CT = 33 °C

t = min

8.미분방정식어려움

x > 0에서 초기값 문제 y′ + 2y/x = 6x, y(1) = −3를 푸세요. y(3)을(를) 구하세요.

y′ + 2y/x = 6xy(1) = −3

y(3) =

3용액

1.수치해석

답: T = 0.3064

수치 적분: [a, b]를 폭 h = (b − a)/n인 n개의 띠로 나누고 절점을 x₀ … xₙ이라 합니다. 사다리꼴 공식: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. 심프슨 공식(n은 짝수): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. 사다리꼴 공식의 오차는 h²처럼 줄어들고(한계 (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), 심프슨 공식의 오차는 h⁴처럼 줄어듭니다. 따라서 같은 절점이라면 심프슨 공식이 대개 훨씬 더 정확합니다.

절점과 값

h = 0.5

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0.428882 + 0.367879 = 1.225643

사다리꼴 공식

T = (0.5/2)·1.225643 = 0.3064

답

T = 0.3064

이 적분은 초등함수로 된 부정적분이 없으며, 바로 이럴 때 수치 공식이 필요합니다.

2.수치해석

답: y₄ = 4.64

y′ = f(t, y)의 수치 해법: 오일러법은 각 단계의 시작점에서의 기울기를 따라 나아갑니다: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). 호인법(개선된 오일러법)은 시작점의 기울기와 오일러 예측점의 기울기를 평균합니다: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). 고전적 룽게–쿠타법(RK4)은 네 기울기를 결합합니다: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). 전역 오차는 오일러법이 h에, 호인법이 h²에, RK4가 h⁴에 비례합니다.

오일러 단계

y₁ = 2 + 0.25·(2) = 2.5

y₂ = 2.5 + 0.25·(2.4375) = 3.109375

y₃ = 3.109375 + 0.25·(2.859375) = 3.824219

y₄ = 3.824219 + 0.25·(3.261719) = 4.639648

그래프

y₄ = 4.64

답

y₄ = 4.64

정확한 값은 y(1) = 5입니다.

3.수열과 급수

답: S = 1.562

부분분수 전개

3/(k(k + 4)) = (3/4)·(1/k − 1/(k + 4))

취소

S = (3/4)·(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 1.562

답

S = 1.562

4.수열과 급수

답: |R₃| = 0.002604

테일러 다항식: x = a 근처에서 매끄러운 함수는 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!으로 근사되며, a = 0이면 매클로린 다항식입니다. 표준 급수: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. 라그랑주 오차 한계: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!이며, M은 a와 x 사이에서 |f⁽ⁿ⁺¹⁾|의 최댓값입니다.

도함수의 한계

M = 1

라그랑주 한계

|R₃| ≤ 1·0.5⁴/4! = 0.002604

답

|R₃| = 0.002604

실제 오차는 더 작습니다: |f(−0.5) − P₃(−0.5)| = 0.0002589.

5.행렬과 행렬식

답: det A = −74

행렬: 2×2 행렬의 행렬식은 ad − bc입니다. 3×3은 한 행을 따라 전개합니다: 각 성분에 그 행과 열을 지우고 남은 2×2 행렬의 행렬식을 곱하고, 부호는 + − +로 번갈아 붙입니다. 고윳값 λ는 det(A − λI) = 0을 만족하며, 2×2에서는 λ² − (대각합)·λ + det = 0입니다.

첫째 행의 2×2 소행렬식

M₁₁ = −10, M₁₂ = 12, M₁₃ = 14

여인수 전개

det A = 5·(−10) − 2·12 + 0·14 = −74

답

det A = −74

6.행렬과 행렬식

답: λ = 5

특성방정식

λ² − (5)λ + (0) = 0

풀기

λ = (5 ± √(25))/2 → λ = 0, 5

λ = 5

답

λ = 5

7.미분방정식

답: t = 15.27 min

1계 미분방정식: dy/dt = k·y의 해는 y = y₀·e^kt입니다(k > 0이면 성장, k < 0이면 감소). 반감기가 T이면 k = ln 2/T입니다. 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)의 해는 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt입니다. 선형 방정식 y′ + p(x)·y = q(x)는 적분 인자 μ = e^{∫p dx}로 풉니다: (μy)′ = μq이므로 μy = ∫μq dx + C.

냉각 상수

k = ln(56/15)/11 = 0.1198 min⁻¹

목표 온도까지 걸리는 시간

t = ln(56/9)/0.1198 = 15.27 min

답

t = 15.27 min

8.미분방정식

답: y(3) = 13

적분 인자

μ = e^{∫2/x dx} = x²

적분하기

(x²y)′ = 6x³ → x²y = 6x⁴/4 + C

초기 조건

−3 = 6/4 + C → C = −4.5

계산하기

y(3) = (6·3⁴/4 + (−4.5))/3² = 13

답

y(3) = 13

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