수치해석: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

수치해석

이분법: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
뉴턴–랩슨법: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
선형 보간: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
사다리꼴 공식: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
심프슨 공식(n은 짝수): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
사다리꼴 공식의 오차 한계: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
오일러: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
호인법: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

방법

근은 이분법이면 부호 변화를 확인하고, 뉴턴법이면 f와 f′를 계산하며, 반복값의 표에는 여섯 자리 이상을 유지하세요.
표의 값은 이웃한 두 점 사이를 선형으로 보간하세요.
적분은 h = (b − a)/n을 구하고, 모든 절점에서 f를 나열하고, 가중치(사다리꼴은 1, 2, …, 2, 1이고 짝수 n의 심프슨은 1, 4, 2, …, 4, 1)를 적용한 다음 h/2 또는 h/3을 곱하세요.
미분방정식은 t₀에서 yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)(오일러) 또는 평균 기울기(호인)로 단계마다 한 줄씩, 요구된 t에 도달할 때까지 진행하세요.

수열과 급수

등차수열: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
등비수열: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
무한 등비급수: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-급수: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
비율 판정법: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
수렴 반지름: R = lim |c_k/c_k+1|
테일러 다항식: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
매클로린 급수: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
라그랑주 오차 한계: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

방법

종류를 파악하세요: 등차(일정한 차), 등비(일정한 비), 표준 급수, 멱급수, 테일러 다항식.
합에는 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), 또는 |r| < 1일 때 S = a₁/(1 − r)을 쓰세요. a₁은 합의 첫째 항입니다.
수렴은 먼저 n번째 항 판정법을 쓰고, 그다음 Σ1/kᵖ이나 등비급수와 비교하며, 팩토리얼과 k제곱에는 비율 판정법이나 근 판정법을 쓰세요.
테일러 다항식은 f(a), f′(a), f″(a), …를 나열하고, k계 도함수를 k!로 나누며, 오차는 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!로 한정하세요.

행렬과 행렬식

2×2 행렬식: det = ad − bc
2×2 역행렬: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
제품: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
고윳값: det(A − λI) = 0
크라메르 공식: x_i = det(A_i)/det(A)

미분방정식

지수적 성장/감소: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
반감기: k = ln 2 / t_½
뉴턴의 냉각 법칙: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
적분 인자: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
혼합 탱크: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2연습 문제

1.수치해석보통

띠 n = 5개의 사다리꼴 공식으로 ∫₀² √(1 + x³) dx를 근사하시오. T을(를) 구하시오.

f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 2]n = 5

T =

2.수치해석어려움

y′ = −0.5y, y(0) = −1을(를) 단계 h = 0.1의 오일러법으로 t = 0.4까지 푸시오. 정확한 해는 y = y₀e^−0.5t이다. 전역 오차 |E| = |y(0.4) − y₄|를 구하시오.

y′ = −0.5yy(0) = −1h = 0.1

|E| =

3.수열과 급수보통

합 S = Σ_k=1^∞ 2/(k(k + 2))을(를) 구하시오.

a_k = 2/(k(k + 2))

S =

4.수열과 급수어려움

f(x) = √x의 a = 9 근처 테일러 급수에서 (x − 9)²의 계수 c₂을(를) 구하시오.

f(x) = √xa = 9k = 2

c₂ =

5.행렬과 행렬식보통

주어진 행렬에 대해 C = AB라 합시다. 성분 c₁₁(1행 1열)를 구하세요.

A = [5 −1; 0 3]B = [2 4; −1 −5]

c₁₁ =

6.행렬과 행렬식어려움

주어진 행렬 A의 더 큰 고윳값 λ를 구하세요.

A = [6 −3; 8 −5]

λ =

7.미분방정식보통

88 °C의 커피 한 잔을 22 °C인 방에 둡니다. 이것은 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)를 따릅니다. k = 0.09 min⁻¹일 때 25분 후의 온도 T을(를) 구하세요.

T₀ = 88 °CT_a = 22 °Ck = 0.09 min⁻¹t = 25 min

T = °C

8.미분방정식어려움

탱크에 소금 20 kg이 녹아 있는 물 500 L가 들어 있습니다. 리터당 소금 0.1 kg이 든 소금물이 5 L/min으로 들어오고, 잘 섞인 용액이 같은 속도로 흘러 나갑니다. 105분 후 탱크 속 소금의 양 m은(는) 얼마인가요?

V = 500 Lm₀ = 20 kgc = 0.1 kg/Lr = 5 L/min

m = kg

3용액

1.수치해석

답: T = 3.268

수치 적분: [a, b]를 폭 h = (b − a)/n인 n개의 띠로 나누고 절점을 x₀ … xₙ이라 합니다. 사다리꼴 공식: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. 심프슨 공식(n은 짝수): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. 사다리꼴 공식의 오차는 h²처럼 줄어들고(한계 (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), 심프슨 공식의 오차는 h⁴처럼 줄어듭니다. 따라서 같은 절점이라면 심프슨 공식이 대개 훨씬 더 정확합니다.

절점과 값

h = 0.4

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·1.031504 + 2·1.229634 + 2·1.651666 + 2·2.257432 + 3 = 16.340472

사다리꼴 공식

T = (0.4/2)·16.340472 = 3.268

답

T = 3.268

이 적분은 초등함수로 된 부정적분이 없으며, 바로 이럴 때 수치 공식이 필요합니다.

2.수치해석

답: |E| = 0.004225

y′ = f(t, y)의 수치 해법: 오일러법은 각 단계의 시작점에서의 기울기를 따라 나아갑니다: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). 호인법(개선된 오일러법)은 시작점의 기울기와 오일러 예측점의 기울기를 평균합니다: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). 고전적 룽게–쿠타법(RK4)은 네 기울기를 결합합니다: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). 전역 오차는 오일러법이 h에, 호인법이 h²에, RK4가 h⁴에 비례합니다.

오일러 단계

y₄ = −0.814506

정확한 값

y(0.4) = −0.818731

전역 오차

|E| = |−0.818731 + 0.814506| = 0.004225

그래프

답

|E| = 0.004225

h를 절반으로 줄이면 오일러법의 오차가 대략 절반이 됩니다.

3.수열과 급수

답: S = 1.5

부분분수 전개

2/(k(k + 2)) = (2/2)·(1/k − 1/(k + 2))

취소

S = (2/2)·(1 + 1/2) = 1.5

답

S = 1.5

4.수열과 급수

답: c₂ = −0.00463

테일러 다항식: x = a 근처에서 매끄러운 함수는 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!으로 근사되며, a = 0이면 매클로린 다항식입니다. 표준 급수: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. 라그랑주 오차 한계: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!이며, M은 a와 x 사이에서 |f⁽ⁿ⁺¹⁾|의 최댓값입니다.

도함수 f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = −0.25·x^{1/2 − 2}

계수

c₂ = −0.25·9^{1/2 − 2}/2! = −0.00463

c₂ = −0.00463

답

c₂ = −0.00463

5.행렬과 행렬식

답: c₁₁ = 11

행렬: 2×2 행렬의 행렬식은 ad − bc입니다. 3×3은 한 행을 따라 전개합니다: 각 성분에 그 행과 열을 지우고 남은 2×2 행렬의 행렬식을 곱하고, 부호는 + − +로 번갈아 붙입니다. 고윳값 λ는 det(A − λI) = 0을 만족하며, 2×2에서는 λ² − (대각합)·λ + det = 0입니다.

행 × 열

c₁₁ = 5·2 + (−1)·(−1) = 11

답

c₁₁ = 11

6.행렬과 행렬식

답: λ = 3

특성방정식

λ² − (1)λ + (−6) = 0

풀기

λ = (1 ± √(25))/2 → λ = −2, 3

λ = 3

답

λ = 3

7.미분방정식

답: T = 28.96 °C

1계 미분방정식: dy/dt = k·y의 해는 y = y₀·e^kt입니다(k > 0이면 성장, k < 0이면 감소). 반감기가 T이면 k = ln 2/T입니다. 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)의 해는 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt입니다. 선형 방정식 y′ + p(x)·y = q(x)는 적분 인자 μ = e^{∫p dx}로 풉니다: (μy)′ = μq이므로 μy = ∫μq dx + C.

냉각 법칙의 해

T(t) = 22 + 66·e^−0.09t

t 대입

T(25) = 22 + 66·0.1054 = 28.96 °C

답

T = 28.96 °C

8.미분방정식

답: m = 39.5 kg

방정식 세우기

dm/dt = 5·0.1 − (5/500)·m = 0.5 − 0.01·m

풀기

적분 인자는 e^rt/V이며, 해는 평형량 c·V에 가까워집니다.

m(t) = 50 + (−30)·e^−t/100

t 대입

m(105) = 50 + (−30)·0.3499 = 39.5 kg

답

m = 39.5 kg

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