물리학 1: 역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

원운동

구심 가속도: a = v²/r = ω²·r
구심력: F = m·v²/r
각속도: ω = v/r = 2π/T
평평한 커브, 마찰: v_max = √(μ·g·r)

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체: T = 2π·√(m/k)
단진자: T = 2π·√(L/g)
각주파수: ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
에너지: E = ½·k·A²

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

일정한 35 m/s로 과속하는 자동차가 정지해 있는 경찰차를 지나간다. 그 순간 경찰차가 출발해 6 m/s²로 균일하게 가속한다. 경찰차는 출발점에서 얼마나 떨어진 곳에서 따라잡는가? d을(를) 구하시오.

v_car = 35 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.운동학어려움

지면에서 35 m 높이에 있는 지붕 가장자리에서 공을 16 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 쓴다. 던진 뒤 공이 지면에 닿을 때까지의 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 16 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.뉴턴 법칙보통

질량 6 kg인 블록이 수평과 25°를 이루는 경사면을 미끄러져 내려간다. 운동 마찰 계수는 0.2이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 경사면을 따르는 블록의 가속도 a을(를) 구하시오.

m = 6 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.뉴턴 법칙어려움

수평 탁자 위에 있는 질량 9 kg인 블록이 가벼운 줄로 마찰 없는 도르래를 거쳐 매달린 3 kg 물체와 연결되어 있다. 블록과 탁자 사이의 운동 마찰 계수는 0.25이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m₁ = 9 kgm₂ = 3 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.포물선 운동보통

공을 평지에서 수평에서 60° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 땅에 닿기 전까지 이동한 수평 거리 x을(를) 구하시오.

v₀ = 14 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

x = m

6.포물선 운동어려움

5 m 절벽 꼭대기에서 공을 33 m/s, 수평 위 30°로 발사한다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 공은 수평 아래 몇 도 α의 각으로 지면에 닿는가?

v₀ = 33 m/sθ = 30°h = 5 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.원운동보통

자동차가 반지름 25 m인 평평한 커브를 돈다. 타이어와 도로 사이의 정지 마찰 계수는 0.5이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 미끄러지지 않고 커브를 돌 수 있는 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

r = 25 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.원운동어려움

길이 0.6 m인 줄에 매단 질량 0.5 kg인 공을 연직면에서 원운동시킨다. 최저점에서 공의 속력은 5.5 m/s이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 최저점에서 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m = 0.5 kgr = 0.6 mv = 5.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.일과 에너지보통

질량 5 kg인 블록이 수평과 25°를 이루는 경사면을 19 m 미끄러져 내려가며, 운동 마찰 계수는 0.1이다. 마찰에 대해 한 일 W_f을(를) 구하시오.

m = 5 kgθ = 25°μ = 0.1d = 19 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.일과 에너지어려움

질량 0.5 kg인 블록을 매끄러운 경사로의 높이 3.5 m에서 가만히 놓는다. 아래에서 길이 4 m인 거친 수평 구간(μ = 0.2)을 지난 뒤, 매끄러운 면에서 스프링(k = 2000 N/m)에 부딪힌다. 스프링의 최대 압축량 x을(를) 구하시오.

m = 0.5 kgh = 3.5 mL = 4 mμ = 0.2k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.운동량과 충돌보통

24 m/s로 움직이는 700 kg 자동차가 정지해 있는 1500 kg 자동차와 충돌해 두 차가 한 덩어리가 된다. 충돌에서 잃은 운동 에너지 ΔK은(는) 얼마인가?

m₁ = 700 kgv₁ = 24 m/sm₂ = 1500 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.운동량과 충돌어려움

교차로에서 동쪽으로 18 m/s로 달리던 900 kg 자동차가 북쪽으로 18 m/s로 달리던 1100 kg 자동차와 충돌한다. 두 차는 한 덩어리가 된다. 충돌 직후 잔해의 방향 θ을(를) 동쪽에서 북쪽으로 잰 각으로 구하시오.

m₁ = 900 kgv₁ = 18 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 18 m/s (N)

θ = °

13.용수철과 진자보통

k = 160 N/m인 스프링에 매단 1.3 kg 질량을 양의 방향으로 13 cm 당겼다가 t = 0에 정지 상태에서 놓는다. t = 1.15 s에서 평형점으로부터의 변위 x(부호 포함)을(를) 구하시오.

m = 1.3 kgk = 160 N/mA = 13 cmt = 1.15 s

x = cm

14.용수철과 진자어려움

k = 70 N/m인 스프링에 매단 질량이 마찰 없는 면 위에서 진폭 9 cm로 진동한다. 평형점에서 3 cm 떨어져 있을 때의 운동 에너지 K을(를) 구하시오.

k = 70 N/mA = 9 cmx = 3 cm

K = J

15.파동, 소리, 광학보통

한쪽 끝이 닫힌 관의 기본 진동(1차 배진동)이(가) 132 Hz가 되어야 한다. 소리의 속력은 343 m/s이다. 관의 길이 L을(를) 구하시오.

v = 343 m/sn = 1f₁ = 132 Hz

L = m

16.파동, 소리, 광학어려움

정지한 센서가 20 m/s로 멀어지는 자동차를 향해 30 kHz의 초음파를 보내고, 반향을 송신 신호와 섞는다. 맥놀이 진동수 f_b을(를) 구하시오(소리의 속력 343 m/s).

f = 30 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3용액

1.운동학

답: d = 408.3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

같은 거리

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·35/6 = 11.67 s

거리

d = v·t = 35·11.67 = 408.3 m

답

d = 408.3 m

그 순간 경찰차는 2v = 70 m/s로 움직입니다.

2.운동학

답: t = 4.761 s

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

운동 방정식

위쪽이 양이고, 지면은 출발점보다 h₀ 아래에 있습니다.

−35 = 16·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 16·t − 35 = 0

이차방정식 풀기

물리적으로 의미 있는 것은 양의 근뿐입니다.

t = (16 + √(16² + 2·9.81·35))/9.81 = 4.761 s

답

t = 4.761 s

3.뉴턴 법칙

답: a = 2.368 m/s²

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

경사면 방향의 힘

경사면 아래쪽이 양입니다.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

가속도

a = 9.81·(sin 25° − 0.2·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.1813) = 2.368 m/s²

답

a = 2.368 m/s²

4.뉴턴 법칙

답: T = 27.59 N

계의 가속도

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29.43 − 22.07)/12 = 0.6131 m/s²

탁자 위 블록에서 구한 장력

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9·0.6131 + 22.07 = 27.59 N

답

T = 27.59 N

5.포물선 운동

답: x = 17.3 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 60° = 7 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 60° = 12.12 m/s

체공 시간

출발점과 착지점이 같은 높이: t = 2v_y/g.

t = 2·12.12/9.81 = 2.472 s

수평 거리

x = v_x·t = 7·2.472 = 17.3 m

답

x = 17.3 m

6.포물선 운동

답: α = 33.96 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

초기 속도 분해

v_x = 33·cos 30° = 28.58 m/s

v_y0 = 33·sin 30° = 16.5 m/s

충돌 시 수직 속력

에너지 또는 수직 방향의 v² = v₀² + 2as.

v_y = √(16.5² + 2·9.81·5) = 19.24 m/s

충돌 각

tan α = v_y/v_x = 19.24/28.58 → α = 33.96°

답

α = 33.96°

7.원운동

답: v_max = 11.07 m/s

등속 원운동: 반지름 r인 원 위를 속력 v로 움직이는 물체는 중심 쪽으로 a = v²/r의 가속도를 가지므로, 중심을 향하는 알짜힘 F = m·v²/r이 필요합니다. 이 힘은 마찰력, 장력, 중력, 수직항력 같은 실제 힘이 제공합니다.

마찰력이 구심력을 제공한다

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·25) = 11.07 m/s

답

v_max = 11.07 m/s (39.87 km/h)

8.원운동

답: T = 30.11 N

최저점에서의 힘

중심 방향(위쪽)이 양입니다.

T − m·g = m·v²/r

T = 0.5·9.81 + 0.5·5.5²/0.6 = 4.905 + 25.21 = 30.11 N

답

T = 30.11 N

9.일과 에너지

답: W_f = 84.46 J

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

마찰력

N = mg·cos θ = 49.05·0.9063 = 44.45 N

F = μN = 0.1·44.45 = 4.445 N

마찰에 대한 일

W_f = F·d = 4.445·19 = 84.46 J

답

W_f = 84.46 J

10.일과 에너지

답: x = 11.51 cm

거친 구간을 지난 뒤 남은 에너지

경사로는 매끄러우므로 에너지를 빼앗는 것은 거친 구간뿐입니다.

mgh − μmgL = 4.905·(3.5 − 0.2·4) = 13.24 J

최대 압축량

½kx² = 13.24 → x = √(2·13.24/2000) = 0.1151 m = 11.51 cm

답

x = 11.51 cm

11.운동량과 충돌

답: ΔK = 137455 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

공통 속도

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 700·24/2200 = 7.636 m/s

충돌 전후의 운동 에너지

K_before = ½·700·24² = 201600 J

K_after = ½·2200·7.636² = 64145 J

잃은 에너지

ΔK = 201600 − 64145 = 137455 J

답

ΔK = 137455 J

잃은 에너지는 변형, 열, 소리로 갑니다.

12.운동량과 충돌

답: θ = 50.71 °

운동량 성분

p_x = 900·18 = 16200 kg·m/s

p_y = 1100·18 = 19800 kg·m/s

방향

tan θ = p_y/p_x = 1.222 → θ = 50.71°

답

θ = 50.71°

13.용수철과 진자

답: x = 12.76 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

각주파수

ω = √(160/1.3) = 11.09 rad/s

ω·t = 11.09·1.15 = 12.76 rad

변위

x = A·cos(ω·t) = 13·cos(12.76) = 12.76 cm

답

x = 12.76 cm

14.용수철과 진자

답: K = 0.252 J

전체 에너지

E = ½·k·A² = ½·70·0.09² = 0.2835 J

x에서의 스프링 에너지

U = ½·k·x² = ½·70·0.03² = 0.0315 J

운동 에너지

K = 0.2835 − 0.0315 = 0.252 J

답

K = 0.252 J

15.파동, 소리, 광학

답: L = 0.6496 m

정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 f_n = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.

파장

λ = v/f = 343/132 = 2.598 m

길이

L = nλ/4 = 1·2.598/4 = 0.6496 m

답

L = 0.6496 m

16.파동, 소리, 광학

답: f_b = 3306 Hz

자동차에서의 진동수

f′ = 30000·(343 − 20)/343 = 28251 Hz

반향의 진동수

f″ = f′·343/(343 + 20) = 26694 Hz

맥놀이 진동수

f_b = |f″ − f| = 3306 Hz

답

f_b = 3306 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics