물리학 1: 역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

원운동

구심 가속도: a = v²/r = ω²·r
구심력: F = m·v²/r
각속도: ω = v/r = 2π/T
평평한 커브, 마찰: v_max = √(μ·g·r)

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체: T = 2π·√(m/k)
단진자: T = 2π·√(L/g)
각주파수: ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
에너지: E = ½·k·A²

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

108 km/h로 달리던 자동차가 3.5 m/s²의 일정한 감속도로 제동하여 멈춘다. 제동 거리 s을(를) 구하시오.

v₀ = 108 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

s = m

2.운동학어려움

모형 로켓을 정지 상태에서 똑바로 위로 발사한다. 엔진은 2.5 s 동안 위쪽으로 일정한 가속도 34 m/s²를 주고, 그 후 엔진이 멈추면 로켓은 자유 운동을 한다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 발사 후 얼마 만에 지면에 떨어지는가? t을(를) 구하시오.

a = 34 m/s²t₁ = 2.5 sg = 9.81 m/s²

t = s

3.뉴턴 법칙보통

질량 2 kg인 블록이 수평과 45°를 이루는 경사면을 미끄러져 내려간다. 운동 마찰 계수는 0.3이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 경사면을 따르는 블록의 가속도 a을(를) 구하시오.

m = 2 kgθ = 45°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.뉴턴 법칙어려움

40° 경사로 위의 4.5 kg 블록이 경사로 꼭대기의 마찰 없는 도르래를 지나는 가벼운 줄로 매달린 6 kg 질량과 연결되어 있다. 매달린 질량은 아래로 움직인다. 블록과 경사로 사이의 운동 마찰 계수는 0.15이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m₁ = 4.5 kgm₂ = 6 kgθ = 40°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.포물선 운동보통

공을 평지에서 수평에서 40° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 땅에 닿을 때까지의 비행 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 26 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

t = s

6.포물선 운동어려움

지면에서 공을 23 m/s, 수평 위 45°로 던진다. 공은 내려오는 도중에 높이 5 m인 건물의 평평한 지붕에 떨어진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 발사점에서 떨어진 곳까지의 수평 거리 x을(를) 구하시오.

v₀ = 23 m/sθ = 45°h_roof = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.원운동보통

길이 1.9 m인 줄에 매단 작은 공이 수평 원운동을 하며, 줄은 연직과 일정한 각 40°를 이룬다(원뿔 진자). g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 한 바퀴 도는 시간 T을(를) 구하시오.

L = 1.9 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

T = s

8.원운동어려움

반지름 140 m인 커브가 8° 기울어져 있고, 타이어와 도로 사이의 정지 마찰 계수는 0.15이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 자동차가 위쪽 바깥으로 미끄러지지 않고 커브를 돌 수 있는 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

r = 140 mθ = 8°μ_s = 0.15g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.일과 에너지보통

평평한 도로를 40 km/h로 달리던 자동차가 급제동해 바퀴가 잠긴 채 미끄러져 멈춘다. 타이어와 도로 사이의 운동 마찰 계수는 0.5이다. 정지 거리 d을(를) 구하시오.

v = 40 km/hμ = 0.5g = 9.81 m/s²

d = m

10.일과 에너지어려움

1 kg 수레가 반지름 1 m인 연직 원형 루프로 이어지는 매끄러운 트랙 위 높이 4.5 m에서 가만히 놓인다. 루프 꼭대기에서 트랙이 수레에 작용하는 수직항력 N을(를) 구하시오.

m = 1 kgh = 4.5 mR = 1 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.운동량과 충돌보통

8 m/s로 움직이는 질량 2 kg인 글라이더가 마찰 없는 트랙 위에 정지해 있는 질량 4.5 kg인 글라이더와 완전 탄성 정면충돌을 한다. 충돌 후 두 번째 글라이더의 속도 v′₂을(를) 구하시오.

m₁ = 2 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.운동량과 충돌어려움

질량 0.25 kg인 공이 8 m/s로 벽에 부딪힌 뒤 12 m/s로 똑바로 튀어나온다. 접촉 시간은 5 ms이다. 벽이 공에 가한 충격량의 크기 J을(를) 구하시오.

m = 0.25 kgv_in = 8 m/sv_out = 12 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.용수철과 진자보통

k = 290 N/m인 스프링에 매단 2.7 kg 질량을 양의 방향으로 13 cm 당겼다가 t = 0에 정지 상태에서 놓는다. t = 0.7 s에서 평형점으로부터의 변위 x(부호 포함)을(를) 구하시오.

m = 2.7 kgk = 290 N/mA = 13 cmt = 0.7 s

x = cm

14.용수철과 진자어려움

k = 190 N/m인 용수철에 매단 3.3 kg 물체를 평형 위치에서 4 cm 당겼다가 놓는다. 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

m = 3.3 kgk = 190 N/mA = 4 cm

v_max = m/s

15.파동, 소리, 광학보통

물체가 초점 거리 15 cm인 얇은 수렴 렌즈 앞 20 cm에 서 있다. 상거리 d_i을(를) 구하시오. 부호 규약 1/f = 1/d_o + 1/d_i를 쓴다(오목 렌즈는 f < 0, 허상은 d_i < 0).

d_o = 20 cmf = 15 cm

d_i = cm

16.파동, 소리, 광학어려움

물체가 곡률 반지름 24 cm인 오목 거울 앞 30 cm에 있다. 거울 앞의 상(실상)이면 양수, 거울 뒤의 상(허상)이면 음수로 하여 상거리 d_i을(를) 구하시오.

d_o = 30 cmR = 24 cm

d_i = cm

3용액

1.운동학

답: s = 128.6 m

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

단위

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

제동 거리

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·3.5) = 128.6 m

답

s = 128.6 m

2.운동학

답: t = 21 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

동력 비행 단계

v₁ = 34·2.5 = 85 m/s

h₁ = ½·34·2.5² = 106.3 m

지면까지의 자유 비행

−h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂²을 풀어 양의 근을 취합니다.

t₂ = (85 + √(85² + 2·9.81·106.3))/9.81 = 18.5 s

t = 2.5 + 18.5 = 21 s

답

t = 21 s

3.뉴턴 법칙

답: a = 4.856 m/s²

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

경사면 방향의 힘

경사면 아래쪽이 양입니다.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

가속도

a = 9.81·(sin 45° − 0.3·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.2121) = 4.856 m/s²

답

a = 4.856 m/s²

4.뉴턴 법칙

답: T = 44.34 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

줄 방향의 힘

m₂·g = 58.86 N

m₁·g·sin θ = 28.38 N

μ·m₁·g·cos θ = 5.073 N

계의 가속도

a = (58.86 − 28.38 − 5.073)/10.5 = 2.42 m/s²

매달린 질량에서 구한 장력

m₂·g − T = m₂·a → T = 6·(9.81 − 2.42) = 44.34 N

답

T = 44.34 N

5.포물선 운동

답: t = 3.407 s

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 40° = 19.92 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 40° = 16.71 m/s

체공 시간

출발점과 착지점이 같은 높이: t = 2v_y/g.

t = 2·16.71/9.81 = 3.407 s

답

t = 3.407 s

6.포물선 운동

답: x = 48.35 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

초기 속도 분해

v_x = 16.26 m/s, v_y = 16.26 m/s

지붕에 떨어지는 시간

큰 근: 공이 내려오는 중입니다.

5 = 16.26·t − 4.905·t²

t = (16.26 + √(16.26² − 2·9.81·5))/9.81 = 2.973 s

수평 거리

x = v_x·t = 16.26·2.973 = 48.35 m

답

x = 48.35 m

7.원운동

답: T = 2.42 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

원의 반지름

r = L·sin θ = 1.9·sin 40° = 1.221 m

속력

장력과 중력이 함께 안쪽 힘을 줍니다: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(1.221·9.81·tan 40°) = 3.171 m/s

주기

T = 2π·r/v = 2π·1.221/3.171 = 2.42 s

답

T = 2.42 s

8.원운동

답: v_max = 20.19 m/s

힘의 평형

마찰은 경사면 아래를 향합니다.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

속력

v = √(140·9.81·0.2877/0.9694) = 20.19 m/s

답

v_max = 20.19 m/s

(72.68 km/h)

9.일과 에너지

답: d = 12.58 m

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

기본 단위의 속력

v = 40/3.6 = 11.11 m/s

에너지 수지

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 11.11²/(2·0.5·9.81) = 12.58 m

답

d = 12.58 m

속력이 두 배가 되면 정지 거리는 네 배가 됩니다.

10.일과 에너지

답: N = 39.24 N

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d). 원 궤도에서는 중심을 향한 알짜힘이 mv²/r과 같아야 합니다.

꼭대기에서의 속력

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(4.5 − 2) = 49.05 m²/s²

꼭대기에서의 힘

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

N = mv²/R − mg = 1·49.05/1 − 9.81 = 39.24 N

답

N = 39.24 N

h = 2.5R이면 수레가 겨우 루프를 돌며, 이때 꼭대기에서 N = 0입니다.

11.운동량과 충돌

답: v′₂ = 4.923 m/s

운동량 보존: 충돌하는 동안 외력이 작용하지 않으면 충돌 전 전체 운동량 Σm·v는 충돌 후와 같습니다. 속도에는 방향이 있으므로 양의 방향을 정하고 반대 방향 속도에는 음의 부호를 붙이세요. 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존되고, 완전 비탄성 충돌에서는 두 물체가 한 덩어리가 됩니다.

정지한 표적과의 탄성 충돌

운동량 보존과 에너지 보존을 연립해 풀면 이 두 결과가 나옵니다.

v′₁ = (2 − 4.5)/(2 + 4.5)·8 = −3.077 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 4.5)·8 = 4.923 m/s

답

v′₂ = 4.923 m/s

12.운동량과 충돌

답: J = 5 N·s

운동량 변화

J = m·Δv = 0.25·(12 + 8) = 5 N·s

답

J = 5 N·s

13.용수철과 진자

답: x = 7.333 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

각주파수

ω = √(290/2.7) = 10.36 rad/s

ω·t = 10.36·0.7 = 7.255 rad

변위

x = A·cos(ω·t) = 13·cos(7.255) = 7.333 cm

답

x = 7.333 cm

14.용수철과 진자

답: v_max = 0.3035 m/s

단순 조화 운동: 용수철 상수 k인 용수철에 매달린 질량 m인 물체는 각진동수 ω = √(k/m), 주기 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)로 진동합니다. 길이 L인 단진자의 주기는 T = 2π·√(L/g)입니다. 진폭이 A이면 최대 속력은 A·ω, 최대 가속도는 A·ω², 에너지는 ½·k·A²입니다.

각주파수

ω = √(190/3.3) = 7.588 rad/s

최대 속력

v_max = A·ω = 0.04·7.588 = 0.3035 m/s

답

v_max = 0.3035 m/s

15.파동, 소리, 광학

답: d_i = 60 cm

기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θ_c = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/d_o + 1/d_i를 따르며 배율은 m = −d_i/d_o입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 d_i > 0, 허상은 d_i < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.

얇은 렌즈 공식

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/20

d_i = 60 cm

광선도

실상, 렌즈의 반대쪽

답

d_i = 60 cm

16.파동, 소리, 광학

답: d_i = 20 cm

초점 거리

f = R/2 = 12 cm

거울 공식

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/30

d_i = 20 cm

광선도

거울 앞의 실상

답

d_i = 20 cm

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