물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

세 점전하가 한 직선 위에 있다. 왼쪽에 −2 µC, 거기서 40 cm 떨어진 오른쪽에 +3 µC, 그 사이 왼쪽 전하에서 24 cm인 곳에 −10 µC가 있다. 가운데 전하에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −2 µCq_R = +3 µCq_M = −10 µCr_L = 24 cmr_R = 16 cm

F = N

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

세 양의 점전하가 직각삼각형의 꼭짓점에 있다. q₃ = 2 µC는 직각인 꼭짓점에 있고, q₁ = 1 µC는 한 변을 따라 q₃에서 5 cm, q₂ = 5 µC는 다른 변을 따라 q₃에서 4 cm 떨어져 있다. q₃에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오.

q₁ = 1 µCq₂ = 5 µCq₃ = 2 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.저항의 직렬·병렬보통

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

4.저항의 직렬·병렬어려움

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 15 Ω

I_R2 = A

5.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. 스위치를 닫은 뒤 얼마 후에 전류가 최종값의 50%에 도달하는가? t을(를) 구하시오.

V_s = 20 VR = 100 ΩL = 150 mH

t = ms

6.RC·RL 과도 현상어려움

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 3 V이다. v_C이(가) 7.2 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.

V_s = 9 VR = 2.2 kΩC = 10 µFv_C(0) = 3 V

t = ms

7.자기장과 유도보통

정사각형 고리가 종이 속으로을(를) 향하는 균일한 자기장 영역으로 오른쪽으로 움직여 들어간다. 고리가 자기장에 들어가는 동안 그림에서 보이는 고리의 유도 전류 방향을 클릭하세요.

B: 종이 속으로자기장에 들어가는 중

1시계 방향
2시계 반대 방향

8.자기장과 유도어려움

알파 입자이(가) 정지 상태에서 출발해 2000 V의 전위차로 가속된 뒤 세기 0.4 T의 균일한 자기장에 직각으로 들어간다. 자기장 속에서 경로의 반지름 r을(를) 구하시오.

m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ CV = 2000 VB = 0.4 T

r = cm

9.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 50 V (실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 회로의 역률 cos φ을(를) 구하시오.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 250 mHC = 47 µF

cos φ =

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로가 50 V (실효값), 100 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 250 mHC = 4.7 µF

I = A

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 13.66 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

각 전하에 의한 힘

오른쪽이 양입니다.

F_L = +k·2·10 × 10⁻¹²/0.24² = 3.122 N

F_R = +k·3·10 × 10⁻¹²/0.16² = 10.54 N

알짜힘

F = 3.122 + (10.54) = 13.66 N → |F| = 13.66 N

답

F = 13.66 N

알짜힘은 오른쪽을 향합니다.

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 56.65 N

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

q₃에 작용하는 각 힘

F₁ = k·1·2 × 10⁻¹²/0.05² = 7.192 N

F₂ = k·5·2 × 10⁻¹²/0.04² = 56.19 N

벡터 합

F = √(7.192² + 56.19²) = 56.65 N

답

F = 56.65 N

3.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 12 Ω

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 3 + 12 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 10·15/(10+15) = 6 Ω

R_eq = R₁ + 6 = 6 + 6 = 12 Ω

답

R_eq = 12 Ω

4.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 0.3581 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 2 + 15 = 17 Ω

R₄ ∥ 17 = 6.296 Ω

R₃ + 6.296 = 36.3 Ω

R₂ ∥ 36.3 = 14.8 Ω

R_eq = R₁ + 14.8 = 10 + 14.8 = 24.8 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/24.8 = 0.6048 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0.6048·10 = 8.952 V

I_R2 = V_A/R₂ = 8.952/25 = 0.3581 A

답

I_R2 = 0.3581 A

5.RC·RL 과도 현상

답: t = 1.04 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 150 mH / 100 Ω = 1.5 ms

i(∞) = V_s/R = 20/100 = 0.2 A

시간에 대해 풀기

0.5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.5)

t = −1.5·ln(0.5) = 1.04 ms

답

t = 1.04 ms

6.RC·RL 과도 현상

답: t = 26.49 ms

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 2.2 kΩ · 10 µF = 22 ms

v_C(t) = 9 + (3 − 9)·e^−t/τ

시간에 대해 풀기

7.2 = 9 + (−6)·e^−t/τ → e^−t/τ = (7.2 − 9)/(3 − 9) = 0.3

t = τ·ln((3 − 9)/(7.2 − 9)) = 22·ln(3.333) = 26.49 ms

답

t = 26.49 ms

7.자기장과 유도

답: 시계 반대 방향

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

선속의 변화

종이 속으로 향하는 선속이 증가하거나 종이 밖으로 향하는 선속이 감소합니다.

유도 전류의 자기장

유도 전류는 변화를 방해합니다.

고리 안의 유도 자기장: 종이 밖으로.

전류의 방향

오른손 법칙: 시계 반대 방향 전류는 고리 안에 종이 밖으로 향하는 자기장을 만듭니다.

시계 반대 방향

답

시계 반대 방향

8.자기장과 유도

답: r = 2.277 cm

자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

가속 뒤의 속력

v = √(2|q|V/m) = √(2·3.204 × 10⁻¹⁹·2000/(6.645 × 10⁻²⁷)) = 439166 m/s

자기장 속의 반지름

r = mv/(|q|B) = 0.02277 m = 2.277 cm

답

r = 2.277 cm

합치면 r = √(2mV/|q|)/B이므로 전하가 같으면 더 무거운 이온이 더 큰 원을 그립니다. 이렇게 동위원소를 분리합니다.

9.교류 임피던스와 페이저

답: cos φ = 0.1979

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

X_L = 314.2 Ω, X_C = 16.93 Ω

임피던스

|Z| = √(60² + (297.2)²) = 303.2 Ω

역률

cos φ = R/|Z| = 60/303.2 = 0.1979

회로가 유도성이므로 역률은 지상입니다.

답

cos φ = 0.1979

10.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.2745 A

리액턴스

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.25 = 157.1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·4.7·10⁻⁶) = 338.6 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (−181.5)²) = 182.2 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 50/182.2 = 0.2745 A

답

I = 0.2745 A

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