물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

똑같은 작은 금속구 두 개의 전하가 −4 µC와 −8 µC이다. 두 구를 접촉시킨 뒤 다시 40 cm 떨어뜨려 놓는다. 이제 두 구 사이의 힘의 크기 F을(를) 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −4 µCq₂ = −8 µCr = 40 cm

F = N

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

+6 µC와 −6 µC의 전하가 6 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하의 중점에서 5 cm 떨어진 수직 이등분선 위에 있다. P에서의 전기장 크기 E을(를) 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +6 µCq₂ = −6 µCd = 6 cmh = 5 cm

E = N/C

3.저항의 직렬·병렬보통

전원이 공급하며 R₁에 흐르는 전류 I_R1을(를) 구하시오.

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 2 Ω

I_R2 = A

5.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. 회로가 정상 상태에 도달한 뒤 인덕터에 저장된 에너지 W(∞)을(를) mJ로 구하시오.

V_s = 9 VR = 22 ΩL = 33 mH

W(∞) = mJ

6.RC·RL 과도 현상어려움

타이머가 t = 0에 15 V 전원에서 저항을 통해 충전되지 않은 커패시터를 충전하기 시작한다. 타이머는 시작 후 정확히 500 ms에 커패시터 전압이 9 V에 도달할 때 작동해야 한다. C = 47 µF일 때 필요한 저항 R을(를) 구하시오.

V_s = 15 VV_th = 9 VT = 500 msC = 47 µF

R = kΩ

7.자기장과 유도보통

원형 고리가 종이 속으로을(를) 향하는 균일한 자기장 속에 놓여 있다. 자기장의 세기가 감소하고 있다. 그림에서 보이는 고리의 유도 전류 방향을 클릭하세요.

B: 종이 속으로dB/dt < 0

1시계 방향
2시계 반대 방향

8.자기장과 유도어려움

중양성자이(가) 정지 상태에서 출발해 2000 V의 전위차로 가속된 뒤 세기 0.25 T의 균일한 자기장에 직각으로 들어간다. 자기장 속에서 경로의 반지름 r을(를) 구하시오.

m = 3.344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 2000 VB = 0.25 T

r = cm

9.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 100 V (실효값), 500 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 10 µF

I = A

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로가 50 V (실효값), 500 Hz 전원에 연결되어 있다. 회로의 공진 주파수 f₀을(를) 구하시오.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 47 µF

f₀ = Hz

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 2.023 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

접촉 후의 전하

q′ = (−4 + −8)/2 = −6 µC

새 힘

F = 8.99 × 10⁹·(6 × 10⁻⁶)²/0.4² = 2.023 N

답

F = 2.023 N

이제 두 구의 부호가 같으므로 서로 밀어냅니다.

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: E = 1.632 × 10⁷ N/C

한 전하의 거리와 전기장

r = √(3² + 5²) = 5.831 cm

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0.05831² = 1.586 × 10⁷ N/C

성분

이등분선 방향의 성분은 상쇄됩니다.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·1.586 × 10⁷·0.5145 = 1.632 × 10⁷ N/C

답

E = 1.632 × 10⁷ N/C

전기장은 양전하에서 음전하로 향하는 선에 평행합니다.

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R1 = 1.454 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 20 + 15 = 35 Ω

R₂ ∥ 35 = 8·35/(8+35) = 6.512 Ω

R_eq = R₁ + 6.512 = 10 + 6.512 = 16.51 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/16.51 = 1.454 A

답

I_R1 = 1.454 A

4.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 1.096 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 12 + 2 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 1.75 Ω

R₃ + 1.75 = 13.75 Ω

R₂ ∥ 13.75 = 2.463 Ω

R_eq = R₁ + 2.463 = 20 + 2.463 = 22.46 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/22.46 = 1.336 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1.336·20 = 3.289 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3.289/3 = 1.096 A

답

I_R2 = 1.096 A

5.RC·RL 과도 현상

답: W(∞) = 2.761 mJ

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 33 mH / 22 Ω = 1.5 ms

i(∞) = V_s/R = 9/22 = 0.4091 A

저장된 에너지

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·33·0.4091² = 2.761 mJ

답

W(∞) = 2.761 mJ

6.RC·RL 과도 현상

답: R = 11.61 kΩ

필요한 시정수

9 = 15·(1 − e^−500/τ) → τ = 500/ln(15/(15 − 9))

τ = 500/0.9163 = 545.7 ms

저항

kΩ × µF는 밀리초입니다.

R = τ/C = 545.7/47 = 11.61 kΩ

답

R = 11.61 kΩ

7.자기장과 유도

답: 시계 방향

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

선속의 변화

종이 밖으로 향하는 선속이 증가하거나 종이 속으로 향하는 선속이 감소합니다.

유도 전류의 자기장

유도 전류는 변화를 방해합니다.

고리 안의 유도 자기장: 종이 속으로.

전류의 방향

오른손 법칙: 시계 반대 방향 전류는 고리 안에 종이 밖으로 향하는 자기장을 만듭니다.

시계 방향

답

시계 방향

8.자기장과 유도

답: r = 3.655 cm

자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

가속 뒤의 속력

v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·2000/(3.344 × 10⁻²⁷)) = 437752 m/s

자기장 속의 반지름

r = mv/(|q|B) = 0.03655 m = 3.655 cm

답

r = 3.655 cm

합치면 r = √(2mV/|q|)/B이므로 전하가 같으면 더 무거운 이온이 더 큰 원을 그립니다. 이렇게 동위원소를 분리합니다.

9.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.7606 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.05 = 157.1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31.83 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (125.2)²) = 131.5 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 100/131.5 = 0.7606 A

답

I = 0.7606 A

10.교류 임피던스와 페이저

답: f₀ = 46.43 Hz

공진

공진 시 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC). 전원 주파수와는 관계없습니다.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.25·47·10⁻⁶)) = 46.43 Hz

답

f₀ = 46.43 Hz

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