물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+8 µC와 +6 µC의 전하가 40 cm 떨어져 있다. 두 전하를 잇는 선 위에서 +8 µC 전하로부터 얼마나 떨어진 곳 x에서 전기장이 0인가?

q₁ = +8 µCq₂ = +6 µCd = 40 cm

x = cm

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

질량이 각각 8 g인 똑같은 작은 공 두 개가 같은 점에서 길이 80 cm의 절연 실에 매달려 있다. 두 공에 같은 전하를 주자 각 실이 연직에서 20°인 곳에서 멈춘다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 각 공의 전하 q을(를) nC로 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 80 cmθ = 20°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.저항의 직렬·병렬보통

전원이 공급하며 R₁에 흐르는 전류 I_R1을(를) 구하시오.

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 12 Ω

I_R1 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 9 VR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

5.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. 스위치를 닫은 뒤 얼마 후에 전류가 최종값의 80%에 도달하는가? t을(를) 구하시오.

V_s = 10 VR = 100 ΩL = 150 mH

t = ms

6.RC·RL 과도 현상어려움

R₂ 양단의 스위치가 오랫동안 열려 있었으므로 인덕터 전류는 정상 상태이다. t = 0에 스위치가 닫혀 R₂을(를) 단락한다. t = 5 ms에서의 인덕터 전류 i을(를) 구하시오.

V_s = 24 VR₁ = 47 ΩR₂ = 5 ΩL = 150 mHt = 5 ms

i = A

7.자기장과 유도보통

알파 입자이(가) 세기 0.4 T의 균일한 자기장 속에서 원운동을 한다. 한 바퀴 도는 데 걸리는 시간 T을(를) 구하시오.

m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ CB = 0.4 T

T = ns

8.자기장과 유도어려움

속도 선택기에서 서로 수직인 장 E = 2 × 10⁵ V/m와 B = 0.25 T는 한 속력의 이온만 직진하게 한다. 그 속력 v을(를) 구하시오.

E = 2 × 10⁵ V/mB₁ = 0.25 T

v = m/s

9.교류 임피던스와 페이저보통

저항과 커패시터가 230 V(실효값), 60 Hz 전원에 병렬로 연결되어 있다. 임피던스의 위상각 φ을(를) 도 단위로 구하시오 (전류가 전압보다 뒤질 때 양).

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩC = 100 µF

φ = °

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로가 230 V (실효값), 1000 Hz 전원에 연결되어 있다. 커패시터 양단 실효 전압 V_C을(를) 구하시오.

V = 230 V (rms)f = 1000 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 47 µF

V_C = V

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: x = 21.44 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

같은 전기장

8/x² = 6/(40 − x)²

(40 − x)/x = √(6/8) = 0.866

위치

x = 40/(1 + 0.866) = 21.44 cm

답

x = 21.44 cm

0인 점은 항상 작은 전하에 더 가깝습니다.

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: q = 975.4 nC

평형에서 구한 전기력

장력의 수평 성분은 F와, 수직 성분은 m·g와 평형을 이룹니다.

F = m·g·tan θ = 0.008·9.81·tan 20° = 0.02856 N

두 공 사이의 거리

r = 2·L·sin θ = 2·0.8·sin 20° = 0.5472 m

전하

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.5472·√(0.02856/8.99 × 10⁹) = 9.754 × 10⁻⁷ C = 975.4 nC

답

q = 975.4 nC

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R1 = 0.5323 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 15 + 12 = 27 Ω

R₂ ∥ 27 = 6·27/(6+27) = 4.909 Ω

R_eq = R₁ + 4.909 = 12 + 4.909 = 16.91 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/16.91 = 0.5323 A

답

I_R1 = 0.5323 A

4.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 4.671 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 6 + 30 = 36 Ω

R₄ ∥ 36 = 5.143 Ω

R₃ + 5.143 = 10.14 Ω

R₂ ∥ 10.14 = 1.671 Ω

R_eq = R₁ + 1.671 = 3 + 1.671 = 4.671 Ω

답

R_eq = 4.671 Ω

5.RC·RL 과도 현상

답: t = 2.414 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 150 mH / 100 Ω = 1.5 ms

i(∞) = V_s/R = 10/100 = 0.1 A

시간에 대해 풀기

0.8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.8)

t = −1.5·ln(0.2) = 2.414 ms

답

t = 2.414 ms

6.RC·RL 과도 현상

답: i = 0.5004 A

초기값, 최종값, 시정수

t = 0 전에는 두 저항이 모두 루프에 있고, 그 후에는 닫힌 스위치가 R₂를 우회합니다.

i(0) = 24/(47 + 5) = 0.4615 A

i(∞) = 24/47 = 0.5106 A

τ = L/R = 150/47 = 3.191 ms

i(t) = 0.5106 + (0.4615 − 0.5106)·e^−t/τ

주어진 시각의 전류

i(5) = 0.5106 + (−0.0491)·e^−5/3.191 = 0.5004 A

답

i = 0.5004 A

7.자기장과 유도

답: T = 325.8 ns

자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

원운동의 주기

더 빠른 입자는 더 큰 원을 그리므로 한 바퀴당 시간은 그대로입니다.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·6.645 × 10⁻²⁷/(3.204 × 10⁻¹⁹·0.4) = 325.8 ns

답

T = 325.8 ns

속력은 필요하지 않습니다. 그래서 사이클로트론은 고정된 진동수 하나를 쓸 수 있습니다.

8.자기장과 유도

답: v = 800000 m/s

선택된 속력

휘지 않음: 전기력 qE가 자기력 qvB와 균형을 이룹니다.

v = E/B₁ = 2 × 10⁵/0.25 = 800000 m/s

답

v = 800000 m/s

9.교류 임피던스와 페이저

답: φ = −37.02 °

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·60·100·10⁻⁶) = 26.53 Ω

가지 전류

두 가지 모두 전원에 바로 연결되어 있으므로 각각 전체 전압 V를 받습니다.

I_R = V/R = 230/20 = 11.5 A

I_X = V/X_C = 230/26.53 = 8.671 A

전체 전류

저항 전류는 V와 동상이고 리액턴스 전류는 90° 위상차가 있으므로 직각삼각형의 변처럼 더해집니다.

I = √(I_R² + I_X²) = √(11.5² + 8.671²) = 14.4 A

위상각

커패시터 전류는 V보다 앞서므로 전체 전류도 앞서고 각은 음수입니다.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(8.671/11.5) = −37.02°

답

φ = −37.02°

10.교류 임피던스와 페이저

답: V_C = 2.498 V

리액턴스

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0.05 = 314.2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·47·10⁻⁶) = 3.386 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (310.8)²) = 311.8 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 230/311.8 = 0.7377 A

커패시터 전압

V_C = I·X_C = 0.7377·3.386 = 2.498 V

답

V_C = 2.498 V

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