물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

똑같은 작은 금속구 두 개의 전하가 −1 µC와 +4 µC이다. 두 구를 접촉시킨 뒤 다시 25 cm 떨어뜨려 놓는다. 이제 두 구 사이의 힘의 크기 F을(를) 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −1 µCq₂ = +4 µCr = 25 cm

F = N

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

세 양의 점전하가 직각삼각형의 꼭짓점에 있다. q₃ = 1 µC는 직각인 꼭짓점에 있고, q₁ = 3 µC는 한 변을 따라 q₃에서 4 cm, q₂ = 3 µC는 다른 변을 따라 q₃에서 6 cm 떨어져 있다. q₃에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오.

q₁ = 3 µCq₂ = 3 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.저항의 직렬·병렬보통

전원이 공급하며 R₁에 흐르는 전류 I_R1을(를) 구하시오.

V₁ = 24 VR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 12 Ω

I_R1 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 12 Ω

I_R2 = A

5.RC·RL 과도 현상보통

전원 Vₛ가 R₁을 통해 커패시터를 충전하며, R₂는 C와 병렬로 연결되어 있습니다. t = 0에서 스위치가 닫힐 때 커패시터는 충전되어 있지 않다. t = 20 ms에서 커패시터 전압 v_C을(를) 구하시오.

V_s = 30 VR₁ = 4.7 kΩR₂ = 6.8 kΩC = 22 µFt = 20 ms

v_C = V

6.RC·RL 과도 현상어려움

스위치가 오랫동안 닫혀 있었으므로 회로는 정상 상태이다. t = 0에 스위치가 열린다. t = 750 ms에서 R₂을(를) 흐르는 전류 i₂을(를) 구하시오.

V_s = 15 VR₁ = 2.2 kΩR₂ = 3.3 kΩC = 220 µFt = 750 ms

i₂ = mA

7.자기장과 유도보통

5 cm 떨어진 긴 평행 도선 두 개에 서로 반대 방향으로 25 A와 20 A의 전류가 흐른다. 두 도선 사이에 작용하는 단위 길이당 힘 F/L을(를) 구하시오.

I₁ = 25 AI₂ = 20 Ad = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.자기장과 유도어려움

감은 수 250, 15 cm × 10 cm인 코일이 자기장에 수직인 축을 중심으로 세기 0.05 T의 균일한 자기장 속에서 3600 rpm으로 회전한다. 최대 기전력 E₀을(를) 구하시오.

N = 250A = 15 cm × 10 cmB = 0.05 Tn = 3600 rpm

E₀ = V

9.교류 임피던스와 페이저보통

저항과 커패시터가 230 V(실효값), 500 Hz 전원에 병렬로 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩC = 4.7 µF

I = A

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로를 1 V(실효값) 전원으로 구동하며, 전원 주파수는 회로의 공진 주파수로 맞추어져 있다. 인덕터 양단의 실효 전압 V_L을(를) 구하시오.

V = 1 V (rms)R = 50 ΩL = 10 mHC = 0.1 µF

V_L = V

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 0.3236 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

접촉 후의 전하

q′ = (−1 + 4)/2 = 1.5 µC

새 힘

F = 8.99 × 10⁹·(1.5 × 10⁻⁶)²/0.25² = 0.3236 N

답

F = 0.3236 N

이제 두 구의 부호가 같으므로 서로 밀어냅니다.

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 18.45 N

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

q₃에 작용하는 각 힘

F₁ = k·3·1 × 10⁻¹²/0.04² = 16.86 N

F₂ = k·3·1 × 10⁻¹²/0.06² = 7.492 N

벡터 합

F = √(16.86² + 7.492²) = 18.45 N

답

F = 18.45 N

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R1 = 2.277 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 6 + 12 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 8·18/(8+18) = 5.538 Ω

R_eq = R₁ + 5.538 = 5 + 5.538 = 10.54 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/10.54 = 2.277 A

답

I_R1 = 2.277 A

4.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 0.6641 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 6 + 12 = 18 Ω

R₄ ∥ 18 = 3.273 Ω

R₃ + 3.273 = 5.273 Ω

R₂ ∥ 5.273 = 3.178 Ω

R_eq = R₁ + 3.178 = 4 + 3.178 = 7.178 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/7.178 = 1.672 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 1.672·4 = 5.313 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5.313/8 = 0.6641 A

답

I_R2 = 0.6641 A

5.RC·RL 과도 현상

답: v_C = 4.949 V

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

커패시터에서 본 테브난 등가 회로

R_th를 구하려면 전원을 단락하고, 최종 전압을 구하려면 커패시터를 개방하세요.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 4.7·6.8/(4.7 + 6.8) = 2.779 kΩ

v_C(∞) = 30·6.8/(4.7 + 6.8) = 17.74 V

시정수

τ = R_th·C = 2.779·22 = 61.14 ms

충전 곡선

v_C(t) = 17.74·(1 − e^−20/61.14) = 4.949 V

답

v_C = 4.949 V

6.RC·RL 과도 현상

답: i₂ = 0.9707 mA

초기 커패시터 전압

정상 상태에서 커패시터는 개방 회로이므로 R₁과 R₂가 전압 분배기를 이룹니다. 스위치가 열릴 때 커패시터 전압은 급변할 수 없습니다.

v_C(0) = 15·3.3/(2.2 + 3.3) = 9 V

스위치가 열린 뒤의 시정수

τ = R₂·C = 3.3·220 = 726 ms

방전

v_C(t) = 9·e^−750/726 = 3.203 V

i₂ = v_C/R₂ = 3.203/3.3 = 0.9707 mA

답

i₂ = 0.9707 mA

7.자기장과 유도

답: F/L = 2000 µN/m

자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

단위 길이당 힘

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·25·20/0.05 = 2000 µN/m

답

F/L = 2000 µN/m

반대 방향의 전류는 서로 밀어냅니다.

8.자기장과 유도

답: E₀ = 70.69 V

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

각속도와 넓이

ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s

A = 0.015 m²

최대 기전력

E₀ = NBAω = 250·0.05·0.015·377 = 70.69 V

답

E₀ = 70.69 V

9.교류 임피던스와 페이저

답: I = 4.102 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·500·4.7·10⁻⁶) = 67.73 Ω

가지 전류

두 가지 모두 전원에 바로 연결되어 있으므로 각각 전체 전압 V를 받습니다.

I_R = V/R = 230/100 = 2.3 A

I_X = V/X_C = 230/67.73 = 3.396 A

전체 전류

저항 전류는 V와 동상이고 리액턴스 전류는 90° 위상차가 있으므로 직각삼각형의 변처럼 더해집니다.

I = √(I_R² + I_X²) = √(2.3² + 3.396²) = 4.102 A

답

I = 4.102 A

10.교류 임피던스와 페이저

답: V_L = 6.325 V

공진

공진에서는 리액턴스가 상쇄되므로 임피던스는 R뿐입니다.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.01·0.1·10⁻⁶) = 31623 rad/s

I = V/R = 1/50 = 0.02 A

인덕터 양단의 전압

X_L = ω₀L = 31623·0.01 = 316.2 Ω

V_L = I·X_L = 0.02·316.2 = 6.325 V

답

V_L = 6.325 V

이는 전원 전압의 Q = 6.325배입니다.

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