물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+6 µC와 +8 µC의 전하가 50 cm 떨어져 있다. 두 전하를 잇는 선 위에서 +6 µC 전하로부터 얼마나 떨어진 곳 x에서 전기장이 0인가?

q₁ = +6 µCq₂ = +8 µCd = 50 cm

x = cm

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

+1 µC와 +1 µC의 전하가 20 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하의 중점에서 5 cm 떨어진 수직 이등분선 위에 있다. P에서의 전기장 크기 E을(를) 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +1 µCq₂ = +1 µCd = 20 cmh = 5 cm

E = N/C

3.저항의 직렬·병렬보통

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 15 VR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

5.RC·RL 과도 현상보통

전원 Vₛ가 R₁을 통해 커패시터를 충전하며, R₂는 C와 병렬로 연결되어 있습니다. t = 0에서 스위치가 닫힐 때 커패시터는 충전되어 있지 않다. t = 30 ms에서 커패시터 전압 v_C을(를) 구하시오.

V_s = 15 VR₁ = 10 kΩR₂ = 1 kΩC = 33 µFt = 30 ms

v_C = V

6.RC·RL 과도 현상어려움

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 30 V이다. v_C이(가) 15.6 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.

V_s = 12 VR = 1 kΩC = 10 µFv_C(0) = 30 V

t = ms

7.자기장과 유도보통

양성자이(가) 세기 0.2 T의 균일한 자기장에 수직으로 2.5 × 10⁶ m/s로 움직인다. 원형 경로의 반지름 r을(를) 구하시오.

m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2.5 × 10⁶ m/sB = 0.2 T

r = cm

8.자기장과 유도어려움

중양성자이(가) 정지 상태에서 출발해 5000 V의 전위차로 가속된 뒤 세기 0.3 T의 균일한 자기장에 직각으로 들어간다. 자기장 속에서 경로의 반지름 r을(를) 구하시오.

m = 3.344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 5000 VB = 0.3 T

r = cm

9.교류 임피던스와 페이저보통

저항과 커패시터가 120 V(실효값), 60 Hz 전원에 병렬로 연결되어 있다. 임피던스의 위상각 φ을(를) 도 단위로 구하시오 (전류가 전압보다 뒤질 때 양).

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩC = 47 µF

φ = °

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로가 120 V (실효값), 500 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 22 µF

I = A

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: x = 23.21 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

같은 전기장

6/x² = 8/(50 − x)²

(50 − x)/x = √(8/6) = 1.155

위치

x = 50/(1 + 1.155) = 23.21 cm

답

x = 23.21 cm

0인 점은 항상 작은 전하에 더 가깝습니다.

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: E = 643272 N/C

한 전하의 거리와 전기장

r = √(10² + 5²) = 11.18 cm

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0.1118² = 719200 N/C

성분

전하를 잇는 선 방향의 성분은 상쇄됩니다.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·719200·0.4472 = 643272 N/C

답

E = 643272 N/C

전기장은 이등분선을 따라 전하에서 멀어지는 방향을 향합니다.

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 0.3158 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 20 + 12 = 32 Ω

R₂ ∥ 32 = 12·32/(12+32) = 8.727 Ω

R_eq = R₁ + 8.727 = 12 + 8.727 = 20.73 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/20.73 = 0.4342 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0.4342·12 = 3.789 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3.789/12 = 0.3158 A

답

I_R2 = 0.3158 A

4.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 19.77 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 5 + 30 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 3.59 Ω

R₃ + 3.59 = 28.59 Ω

R₂ ∥ 28.59 = 11.77 Ω

R_eq = R₁ + 11.77 = 8 + 11.77 = 19.77 Ω

답

R_eq = 19.77 Ω

5.RC·RL 과도 현상

답: v_C = 0.862 V

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

커패시터에서 본 테브난 등가 회로

R_th를 구하려면 전원을 단락하고, 최종 전압을 구하려면 커패시터를 개방하세요.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·1/(10 + 1) = 0.9091 kΩ

v_C(∞) = 15·1/(10 + 1) = 1.364 V

시정수

τ = R_th·C = 0.9091·33 = 30 ms

충전 곡선

v_C(t) = 1.364·(1 − e^−30/30) = 0.862 V

답

v_C = 0.862 V

6.RC·RL 과도 현상

답: t = 16.09 ms

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 1 kΩ · 10 µF = 10 ms

v_C(t) = 12 + (30 − 12)·e^−t/τ

시간에 대해 풀기

15.6 = 12 + (18)·e^−t/τ → e^−t/τ = (15.6 − 12)/(30 − 12) = 0.2

t = τ·ln((30 − 12)/(15.6 − 12)) = 10·ln(5) = 16.09 ms

답

t = 16.09 ms

7.자기장과 유도

답: r = 13.05 cm

자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

힘의 평형

자기력은 항상 속도에 수직이므로 경로를 원으로 휘게 합니다.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

반지름

r = 1.673 × 10⁻²⁷·2.5 × 10⁶/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.2) = 0.1305 m = 13.05 cm

답

r = 13.05 cm

8.자기장과 유도

답: r = 4.816 cm

가속 뒤의 속력

v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·5000/(3.344 × 10⁻²⁷)) = 692147 m/s

자기장 속의 반지름

r = mv/(|q|B) = 0.04816 m = 4.816 cm

답

r = 4.816 cm

합치면 r = √(2mV/|q|)/B이므로 전하가 같으면 더 무거운 이온이 더 큰 원을 그립니다. 이렇게 동위원소를 분리합니다.

9.교류 임피던스와 페이저

답: φ = −23.89 °

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·60·47·10⁻⁶) = 56.44 Ω

가지 전류

두 가지 모두 전원에 바로 연결되어 있으므로 각각 전체 전압 V를 받습니다.

I_R = V/R = 120/25 = 4.8 A

I_X = V/X_C = 120/56.44 = 2.126 A

전체 전류

저항 전류는 V와 동상이고 리액턴스 전류는 90° 위상차가 있으므로 직각삼각형의 변처럼 더해집니다.

I = √(I_R² + I_X²) = √(4.8² + 2.126²) = 5.25 A

위상각

커패시터 전류는 V보다 앞서므로 전체 전류도 앞서고 각은 음수입니다.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(2.126/4.8) = −23.89°

답

φ = −23.89°

10.교류 임피던스와 페이저

답: I = 1.725 A

리액턴스

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.02 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14.47 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (48.36)²) = 69.56 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 120/69.56 = 1.725 A

답

I = 1.725 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism