쿨롱 법칙과 전기장
- 쿨롱 법칙
- F = k·|q1q2|/r²
- 점전하의 전기장
- E = k·|q|/r²
- 상수
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 전하가 받는 힘
- F = q·E
물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
저항의 직렬·병렬
- 저항의 직렬 연결
- Req = R1 + R2 + …
- 저항의 병렬 연결
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 두 저항의 병렬
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 옴의 법칙
- V = I·R
- 전력
- P = V·I = I²R = V²/R
방법
- 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
- 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
- 단계마다 회로를 다시 그리세요.
- 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.
RC·RL 과도 현상
- 시정수
- τ = RC | τ = L/R
- 응답
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 직류에서의 커패시터
- 개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
- 직류에서의 인덕터
- 단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
- 정상 상태 값
- t ≈ 5τ
방법
- 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
- 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
- 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.
자기장과 유도
- 긴 직선 도선
- B = μ0I/(2πr)
- 평평한 코일의 중심
- B = μ0NI/(2R)
- 긴 솔레노이드
- B = μ0nI, n = N/L
- 상수
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 도선에 작용하는 힘
- F = BIL·sin θ
- 전하가 받는 힘
- F = |q|vB·sin θ
- 원운동
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 평행한 도선
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 선속
- Φ = BA·cos θ
- 패러데이 법칙
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 움직이는 막대
- ε = BLv
- 발전기
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 인덕턴스
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 상호 인덕턴스
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 속도 선택기와 질량 분석기
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
방법
- 모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
- 올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
- 유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
- 방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.
교류 임피던스와 페이저
- 임피던스
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 각주파수
- ω = 2πf
- 크기와 위상각
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 페이저 옴의 법칙
- V = I·Z
방법
- 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
- 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
- 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
- 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.
2연습 문제
1.쿨롱 법칙과 전기장보통
+4 µC인 전하와 −4 µC인 전하가 50 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하를 잇는 선분 위에 있으며 첫 번째 전하로부터 20 cm 떨어져 있다. P에서 전기장의 크기 E을(를) 구하시오.
q1 = +4 µCq2 = −4 µCr1 = 20 cmr2 = 30 cm
E = N/C
2.쿨롱 법칙과 전기장어려움
세 양의 점전하가 직각삼각형의 꼭짓점에 있다. q₃ = 4 µC는 직각인 꼭짓점에 있고, q₁ = 6 µC는 한 변을 따라 q₃에서 6 cm, q₂ = 4 µC는 다른 변을 따라 q₃에서 6 cm 떨어져 있다. q₃에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오.
q1 = 6 µCq2 = 4 µCq3 = 4 µCr13 = 6 cmr23 = 6 cm
F = N
3.저항의 직렬·병렬보통
전원 V1이(가) 보는 합성 저항 Req을(를) 구하시오.
V1 = 9 VR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 2 ΩR4 = 15 Ω
Req = Ω
4.저항의 직렬·병렬어려움
전원 V1이(가) 보는 합성 저항 Req을(를) 구하시오.
V1 = 6 VR1 = 25 ΩR2 = 15 ΩR3 = 15 ΩR4 = 10 ΩR5 = 25 ΩR6 = 6 Ω
Req = Ω
5.RC·RL 과도 현상보통
인덕터에 0.5 A의 정상 전류가 흐른다. t = 0에 스위치가 R을 통한 루프를 닫고 전원이 제거되어, 인덕터 전류는 R을 통해 감쇠한다. t = 5 ms에서 전류 i을(를) 구하시오.
i(0) = 0.5 AR = 68 ΩL = 150 mHt = 5 ms
i = A
6.RC·RL 과도 현상어려움
t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 24 V이다. vC이(가) 20.8 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.
Vs = 20 VR = 6.8 kΩC = 22 µFvC(0) = 24 V
t = ms
7.자기장과 유도보통
감은 수 200, 넓이 20 cm²인 코일이 있다. 코일이 평면에 수직인 0.4 T의 균일한 자기장 속에 있고, 그 자기장을 500 ms 동안 끈다. 평균 유도 기전력 ε을(를) 구하시오.
N = 200A = 20 cm²B = 0.4 TΔt = 500 ms
ε = mV
8.자기장과 유도어려움
중양성자이(가) 서로 수직인 장 E = 4 × 10⁴ V/m와 B₁ = 0.1 T가 있는 속도 선택기를 휘지 않고 통과한다. 그다음 직각으로 자기장 B₂ = 0.25 T만 있는 둘째 영역에 들어간다. 그곳에서 경로의 반지름 r을(를) 구하시오.
E = 4 × 10⁴ V/mB1 = 0.1 TB2 = 0.25 Tm = 3.344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ C
r = cm
9.교류 임피던스와 페이저보통
직렬 RLC 회로가 120 V (실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 전원에서 공급받는 유효 전력 P을(를) 구하시오.
V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 10 µF
P = W
10.교류 임피던스와 페이저어려움
직렬 RLC 회로가 24 V (실효값), 60 Hz 전원에 연결되어 있다. 커패시터 양단 실효 전압 VC을(를) 구하시오.
V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 250 mHC = 22 µF
VC = V
3용액
1.쿨롱 법칙과 전기장
답: E = 1.299 × 10⁶ N/C
쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.
각 전하의 전기장
E1 = k·4 × 10⁻⁶/0.2² = 899000 N/C
E2 = k·4 × 10⁻⁶/0.3² = 399556 N/C
방향과 합
첫 번째 전기장은 양전하에서 멀어지는 방향, 두 번째 전기장은 음전하 쪽을 향하므로 두 전기장의 방향이 같습니다.
E = |899000 + 399556| = 1.299 × 10⁶ N/C
답
E = 1.299 × 10⁶ N/C
2.쿨롱 법칙과 전기장
답: F = 72.03 N
쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.
q₃에 작용하는 각 힘
F1 = k·6·4 × 10⁻¹²/0.06² = 59.93 N
F2 = k·4·4 × 10⁻¹²/0.06² = 39.96 N
벡터 합
F = √(59.93² + 39.96²) = 72.03 N
답
F = 72.03 N
3.저항의 직렬·병렬
답: Req = 17.03 Ω
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
먼 쪽 끝부터 저항 합치기
전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R3 + R4 = 2 + 15 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 12·17/(12+17) = 7.034 Ω
Req = R1 + 7.034 = 10 + 7.034 = 17.03 Ω
답
Req = 17.03 Ω
4.저항의 직렬·병렬
답: Req = 34.01 Ω
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
먼 쪽 끝부터 저항 합치기
전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R5 + R6 = 25 + 6 = 31 Ω
R4 ∥ 31 = 7.561 Ω
R3 + 7.561 = 22.56 Ω
R2 ∥ 22.56 = 9.01 Ω
Req = R1 + 9.01 = 25 + 9.01 = 34.01 Ω
답
Req = 34.01 Ω
5.RC·RL 과도 현상
답: i = 0.05183 A
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
시정수
τ = L/R = 150 mH / 68 Ω = 2.206 ms
전류의 감쇠
i(t) = 0.5·e−5/2.206 = 0.05183 A
답
i = 0.05183 A
6.RC·RL 과도 현상
답: t = 240.8 ms
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
초기값, 최종값, 시정수
커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.
vC(0) = 24 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 22 µF = 149.6 ms
vC(t) = 20 + (24 − 20)·e−t/τ
시간에 대해 풀기
20.8 = 20 + (4)·e−t/τ → e−t/τ = (20.8 − 20)/(24 − 20) = 0.2
t = τ·ln((24 − 20)/(20.8 − 20)) = 149.6·ln(5) = 240.8 ms
답
t = 240.8 ms
7.자기장과 유도
답: ε = 320 mV
전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.
한 번 감긴 부분당 선속 변화
ΔΦ = 0.4·0.002 = 0.0008 Wb
평균 기전력
ε = NΔΦ/Δt = 200·0.0008/0.5 = 0.32 V
답
ε = 320 mV
8.자기장과 유도
답: r = 3.34 cm
자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
선택된 속력
휘지 않음: 전기력 qE가 자기력 qvB와 균형을 이룹니다.
v = E/B1 = 4 × 10⁴/0.1 = 400000 m/s
둘째 자기장에서의 반지름
r = mv/(|q|B2) = 0.0334 m = 3.34 cm
답
r = 3.34 cm
9.교류 임피던스와 페이저
답: P = 91.96 W
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
XL = 125.7 Ω, XC = 79.58 Ω
임피던스
|Z| = √(15² + (46.09)²) = 48.47 Ω
유효 전력
인덕터와 커패시터는 에너지를 저장했다가 돌려줄 뿐이며, 저항이 유효 전력을 모두 흡수합니다.
I = 120/48.47 = 2.476 A
P = I²·R = 2.476²·15 = 91.96 W
답
P = 91.96 W
10.교류 임피던스와 페이저
답: VC = 95.51 V
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.25 = 94.25 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω
임피던스
직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (−26.32)²) = 30.3 Ω
전류
직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.
I = V/|Z| = 24/30.3 = 0.7921 A
커패시터 전압
VC = I·XC = 0.7921·120.6 = 95.51 V
답
VC = 95.51 V
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