물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

세 점전하가 한 직선 위에 있다. 왼쪽에 −2 µC, 거기서 40 cm 떨어진 오른쪽에 −3 µC, 그 사이 왼쪽 전하에서 30 cm인 곳에 −6 µC가 있다. 가운데 전하에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −2 µCq_R = −3 µCq_M = −6 µCr_L = 30 cmr_R = 10 cm

F = N

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

질량이 각각 3 g인 똑같은 작은 공 두 개가 같은 점에서 길이 60 cm의 절연 실에 매달려 있다. 두 공에 같은 전하를 주자 각 실이 연직에서 20°인 곳에서 멈춘다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 각 공의 전하 q을(를) nC로 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 3 gL = 60 cmθ = 20°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.저항의 직렬·병렬보통

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 18 VR₁ = 8 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 3 Ω

I_R2 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

전원이 공급하며 R₁에 흐르는 전류 I_R1을(를) 구하시오.

V₁ = 15 VR₁ = 25 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 30 Ω

I_R1 = A

5.RC·RL 과도 현상보통

인덕터에 2.5 A의 정상 전류가 흐른다. t = 0에 스위치가 R을 통한 루프를 닫고 전원이 제거되어, 인덕터 전류는 R을 통해 감쇠한다. t = 1 ms에서 R 양단의 전압 v_R을(를) 구하시오.

i(0) = 2.5 AR = 47 ΩL = 22 mHt = 1 ms

v_R = V

6.RC·RL 과도 현상어려움

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 2 V이다. v_C이(가) 15.2 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.

V_s = 24 VR = 3.3 kΩC = 220 µFv_C(0) = 2 V

t = ms

7.자기장과 유도보통

길이 60 cm인 금속 막대가 종이 속으로 향하는 세기 0.4 T의 균일한 자기장 속에서 두 레일을 따라 2 m/s로 미끄러진다. 막대 양 끝 사이에 유도되는 기전력 ε을(를) 구하시오.

B = 0.4 TL = 60 cmv = 2 m/s

ε = mV

8.자기장과 유도어려움

긴 공심 솔레노이드의 감은 수가 1500, 길이가 10 cm, 지름이 1 cm이다. 3 A가 흐를 때 자기장에 저장된 에너지 W을(를) 구하시오.

N = 1500l = 10 cm⌀ = 1 cmI = 3 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.교류 임피던스와 페이저보통

저항과 인덕터가 12 V(실효값), 50 Hz 전원에 병렬로 연결되어 있다. 임피던스의 크기 |Z|을(를) 구하시오.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩL = 50 mH

|Z| = Ω

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로가 10 V (실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 47 µF

I = A

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 14.98 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

각 전하에 의한 힘

오른쪽이 양입니다.

F_L = +k·2·6 × 10⁻¹²/0.3² = 1.199 N

F_R = −k·3·6 × 10⁻¹²/0.1² = −16.18 N

알짜힘

F = 1.199 + (−16.18) = −14.98 N → |F| = 14.98 N

답

F = 14.98 N

알짜힘은 왼쪽을 향합니다.

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: q = 448 nC

평형에서 구한 전기력

장력의 수평 성분은 F와, 수직 성분은 m·g와 평형을 이룹니다.

F = m·g·tan θ = 0.003·9.81·tan 20° = 0.01071 N

두 공 사이의 거리

r = 2·L·sin θ = 2·0.6·sin 20° = 0.4104 m

전하

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.4104·√(0.01071/8.99 × 10⁹) = 4.48 × 10⁻⁷ C = 448 nC

답

q = 448 nC

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 1.047 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 12 + 3 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 6·15/(6+15) = 4.286 Ω

R_eq = R₁ + 4.286 = 8 + 4.286 = 12.29 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/12.29 = 1.465 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1.465·8 = 6.279 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6.279/6 = 1.047 A

답

I_R2 = 1.047 A

4.저항의 직렬·병렬

답: I_R1 = 0.4747 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 20 + 30 = 50 Ω

R₄ ∥ 50 = 9.677 Ω

R₃ + 9.677 = 14.68 Ω

R₂ ∥ 14.68 = 6.602 Ω

R_eq = R₁ + 6.602 = 25 + 6.602 = 31.6 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/31.6 = 0.4747 A

답

I_R1 = 0.4747 A

5.RC·RL 과도 현상

답: v_R = 13.87 V

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수

τ = L/R = 22 mH / 47 Ω = 0.4681 ms

전류의 감쇠

i(t) = 2.5·e^−1/0.4681 = 0.2952 A

v_R = R·i = 47·0.2952 = 13.87 V

답

v_R = 13.87 V

6.RC·RL 과도 현상

답: t = 665.2 ms

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 3.3 kΩ · 220 µF = 726 ms

v_C(t) = 24 + (2 − 24)·e^−t/τ

시간에 대해 풀기

15.2 = 24 + (−22)·e^−t/τ → e^−t/τ = (15.2 − 24)/(2 − 24) = 0.4

t = τ·ln((2 − 24)/(15.2 − 24)) = 726·ln(2.5) = 665.2 ms

답

t = 665.2 ms

7.자기장과 유도

답: ε = 480 mV

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

운동 기전력

ε = BLv = 0.4·0.6·2 = 0.48 V

답

ε = 480 mV

8.자기장과 유도

답: W = 9.993 mJ

자체 인덕턴스

L = μ₀N²A/l = 2.221 mH

저장된 에너지

W = ½LI² = ½·0.002221·3² = 0.009993 J = 9.993 mJ

답

W = 9.993 mJ

9.교류 임피던스와 페이저

답: |Z| = 8.436 Ω

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

X_L = ωL = 2π·50·0.05 = 15.71 Ω

가지 전류

두 가지 모두 전원에 바로 연결되어 있으므로 각각 전체 전압 V를 받습니다.

I_R = V/R = 12/10 = 1.2 A

I_X = V/X_L = 12/15.71 = 0.7639 A

전체 전류

저항 전류는 V와 동상이고 리액턴스 전류는 90° 위상차가 있으므로 직각삼각형의 변처럼 더해집니다.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1.2² + 0.7639²) = 1.423 A

임피던스

|Z| = V/I = 12/1.423 = 8.436 Ω

답

|Z| = 8.436 Ω

10.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.04232 A

리액턴스

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.2 = 251.3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (234.4)²) = 236.3 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 10/236.3 = 0.04232 A

답

I = 0.04232 A

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