물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+3 µC인 전하와 +6 µC인 전하가 50 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하를 잇는 선분 위에 있으며 첫 번째 전하로부터 12.5 cm 떨어져 있다. P에서 전기장의 크기 E을(를) 구하시오.

q₁ = +3 µCq₂ = +6 µCr₁ = 12.5 cmr₂ = 37.5 cm

E = N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

세 양의 점전하가 직각삼각형의 꼭짓점에 있다. q₃ = 8 µC는 직각인 꼭짓점에 있고, q₁ = 2 µC는 한 변을 따라 q₃에서 10 cm, q₂ = 5 µC는 다른 변을 따라 q₃에서 8 cm 떨어져 있다. q₃에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오.

q₁ = 2 µCq₂ = 5 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.저항의 직렬·병렬보통

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

4.저항의 직렬·병렬어려움

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

5.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. t = 1 ms에서 전류 i을(를) 구하시오.

V_s = 20 VR = 47 ΩL = 10 mHt = 1 ms

i = A

6.RC·RL 과도 현상어려움

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 3 V이다. v_C이(가) 14.9 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.

V_s = 20 VR = 1 kΩC = 47 µFv_C(0) = 3 V

t = ms

7.자기장과 유도보통

4 cm 떨어진 긴 평행 도선 두 개에 같은 방향으로 5 A와 20 A의 전류가 흐른다. 두 도선 사이에 작용하는 단위 길이당 힘 F/L을(를) 구하시오.

I₁ = 5 AI₂ = 20 Ad = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.자기장과 유도어려움

긴 공심 솔레노이드의 감은 수가 1500, 길이가 20 cm, 지름이 1 cm이다. 1 A가 흐를 때 자기장에 저장된 에너지 W을(를) 구하시오.

N = 1500l = 20 cm⌀ = 1 cmI = 1 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 120 V (실효값), 60 Hz 전원에 연결되어 있다. 회로의 역률 cos φ을(를) 구하시오.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩL = 250 mHC = 47 µF

cos φ =

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로가 50 V (실효값), 500 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 22 µF

I = A

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: E = 1.343 × 10⁶ N/C

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

각 전하의 전기장

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0.125² = 1.726 × 10⁶ N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0.375² = 383573 N/C

방향과 합

두 전하가 모두 양전하입니다: P에서 각 전기장은 자기 전하에서 멀어지는 방향, 즉 서로 반대 방향을 향합니다.

E = |1.726 × 10⁶ − 383573| = 1.343 × 10⁶ N/C

답

E = 1.343 × 10⁶ N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 58 N

q₃에 작용하는 각 힘

F₁ = k·2·8 × 10⁻¹²/0.1² = 14.38 N

F₂ = k·5·8 × 10⁻¹²/0.08² = 56.19 N

벡터 합

F = √(14.38² + 56.19²) = 58 N

답

F = 58 N

3.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 11.35 Ω

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 15 + 4 = 19 Ω

R₂ ∥ 19 = 12·19/(12+19) = 7.355 Ω

R_eq = R₁ + 7.355 = 4 + 7.355 = 11.35 Ω

답

R_eq = 11.35 Ω

4.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 0.6418 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 4 + 10 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 7.241 Ω

R₃ + 7.241 = 22.24 Ω

R₂ ∥ 22.24 = 4.725 Ω

R_eq = R₁ + 4.725 = 10 + 4.725 = 14.73 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/14.73 = 0.8149 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0.8149·10 = 3.851 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3.851/6 = 0.6418 A

답

I_R2 = 0.6418 A

5.RC·RL 과도 현상

답: i = 0.4217 A

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 10 mH / 47 Ω = 0.2128 ms

i(∞) = V_s/R = 20/47 = 0.4255 A

주어진 시각의 전류

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.4255·(1 − e^−1/0.2128) = 0.4217 A

답

i = 0.4217 A

6.RC·RL 과도 현상

답: t = 56.59 ms

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 1 kΩ · 47 µF = 47 ms

v_C(t) = 20 + (3 − 20)·e^−t/τ

시간에 대해 풀기

14.9 = 20 + (−17)·e^−t/τ → e^−t/τ = (14.9 − 20)/(3 − 20) = 0.3

t = τ·ln((3 − 20)/(14.9 − 20)) = 47·ln(3.333) = 56.59 ms

답

t = 56.59 ms

7.자기장과 유도

답: F/L = 500 µN/m

자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

단위 길이당 힘

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·5·20/0.04 = 500 µN/m

답

F/L = 500 µN/m

같은 방향의 전류는 서로 끌어당깁니다.

8.자기장과 유도

답: W = 555.2 µJ

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

자체 인덕턴스

L = μ₀N²A/l = 1.11 mH

저장된 에너지

W = ½LI² = ½·0.00111·1² = 0.0005552 J = 555.2 µJ

답

W = 555.2 µJ

9.교류 임피던스와 페이저

답: cos φ = 0.2557

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

X_L = 94.25 Ω, X_C = 56.44 Ω

임피던스

|Z| = √(10² + (37.81)²) = 39.11 Ω

역률

cos φ = R/|Z| = 10/39.11 = 0.2557

회로가 유도성이므로 역률은 지상입니다.

답

cos φ = 0.2557

10.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.3472 A

리액턴스

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.05 = 157.1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14.47 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (142.6)²) = 144 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 50/144 = 0.3472 A

답

I = 0.3472 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism