물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+6 µC인 전하와 −6 µC인 전하가 50 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하를 잇는 선분 위에 있으며 첫 번째 전하로부터 30 cm 떨어져 있다. P에서 전기장의 크기 E을(를) 구하시오.

q₁ = +6 µCq₂ = −6 µCr₁ = 30 cmr₂ = 20 cm

E = N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

세 양의 점전하가 직각삼각형의 꼭짓점에 있다. q₃ = 10 µC는 직각인 꼭짓점에 있고, q₁ = 1 µC는 한 변을 따라 q₃에서 4 cm, q₂ = 8 µC는 다른 변을 따라 q₃에서 3 cm 떨어져 있다. q₃에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오.

q₁ = 1 µCq₂ = 8 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.저항의 직렬·병렬보통

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 15 VR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 15 Ω

I_R2 = A

5.RC·RL 과도 현상보통

인덕터에 3 A의 정상 전류가 흐른다. t = 0에 스위치가 R을 통한 루프를 닫고 전원이 제거되어, 인덕터 전류는 R을 통해 감쇠한다. t = 1 ms에서 R 양단의 전압 v_R을(를) 구하시오.

i(0) = 3 AR = 22 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_R = V

6.RC·RL 과도 현상어려움

타이머가 t = 0에 15 V 전원에서 저항을 통해 충전되지 않은 커패시터를 충전하기 시작한다. 타이머는 시작 후 정확히 25 ms에 커패시터 전압이 12 V에 도달할 때 작동해야 한다. R = 100 kΩ일 때 필요한 커패시턴스 C을(를) 구하시오.

V_s = 15 VV_th = 12 VT = 25 msR = 100 kΩ

C = µF

7.자기장과 유도보통

4 cm 떨어진 긴 평행 도선 두 개에 같은 방향으로 10 A와 12 A의 전류가 흐른다. 두 도선의 한가운데 점 P에서의 자기선속밀도의 크기 B을(를) 구하시오.

I₁ = 10 AI₂ = 12 Ad = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.자기장과 유도어려움

감은 수 100, 8 cm × 5 cm인 코일이 자기장에 수직인 축을 중심으로 세기 0.1 T의 균일한 자기장 속에서 900 rpm으로 회전한다. 최대 기전력 E₀을(를) 구하시오.

N = 100A = 8 cm × 5 cmB = 0.1 Tn = 900 rpm

E₀ = V

9.교류 임피던스와 페이저보통

L = 5 mH인 직렬 RLC 회로가 5000 Hz에서 공진해야 한다. 필요한 커패시턴스 C을(를) 구하시오.

f₀ = 5000 HzL = 5 mH

C = µF

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로가 12 V (실효값), 1000 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 2.2 µF

I = A

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: E = 1.948 × 10⁶ N/C

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

각 전하의 전기장

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0.3² = 599333 N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0.2² = 1.348 × 10⁶ N/C

방향과 합

첫 번째 전기장은 양전하에서 멀어지는 방향, 두 번째 전기장은 음전하 쪽을 향하므로 두 전기장의 방향이 같습니다.

E = |599333 + 1.348 × 10⁶| = 1.948 × 10⁶ N/C

답

E = 1.948 × 10⁶ N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 801.1 N

q₃에 작용하는 각 힘

F₁ = k·1·10 × 10⁻¹²/0.04² = 56.19 N

F₂ = k·8·10 × 10⁻¹²/0.03² = 799.1 N

벡터 합

F = √(56.19² + 799.1²) = 801.1 N

답

F = 801.1 N

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 0.6646 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 4 + 5 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 5·9/(5+9) = 3.214 Ω

R_eq = R₁ + 3.214 = 20 + 3.214 = 23.21 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/23.21 = 1.034 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1.034·20 = 3.323 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3.323/5 = 0.6646 A

답

I_R2 = 0.6646 A

4.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 0.7929 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 15 + 15 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 13.64 Ω

R₃ + 13.64 = 15.64 Ω

R₂ ∥ 15.64 = 7.656 Ω

R_eq = R₁ + 7.656 = 2 + 7.656 = 9.656 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/9.656 = 1.553 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1.553·2 = 11.89 V

I_R2 = V_A/R₂ = 11.89/15 = 0.7929 A

답

I_R2 = 0.7929 A

5.RC·RL 과도 현상

답: v_R = 7.313 V

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수

τ = L/R = 10 mH / 22 Ω = 0.4545 ms

전류의 감쇠

i(t) = 3·e^−1/0.4545 = 0.3324 A

v_R = R·i = 22·0.3324 = 7.313 V

답

v_R = 7.313 V

6.RC·RL 과도 현상

답: C = 0.1553 µF

필요한 시정수

12 = 15·(1 − e^−25/τ) → τ = 25/ln(15/(15 − 12))

τ = 25/1.609 = 15.53 ms

정전 용량

kΩ × µF는 밀리초입니다.

C = τ/R = 15.53/100 = 0.1553 µF

답

C = 0.1553 µF

7.자기장과 유도

답: B = 20 µT

전류의 자기장: 긴 직선 도선 주위의 자기력선은 원이며(오른손 법칙) B = μ₀I/(2πr)입니다. 감은 수 N인 평평한 원형 코일의 중심에서는 B = μ₀NI/(2R)입니다. 긴 솔레노이드 안에서는 자기장이 균일하며, 반지름과 관계없이 B = μ₀nI이고 n = N/L은 1미터당 감은 수입니다. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. SI 단위(미터와 암페어)로 계산하고, 여러 전원의 자기장은 벡터로 더하세요.

P에서 각 도선의 자기장

B₁ = 2 × 10⁻⁷·10/0.02 = 100 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·12/0.02 = 120 µT

합치기

B = |B₁ − B₂| = 20 µT

답

B = 20 µT

8.자기장과 유도

답: E₀ = 3.77 V

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

각속도와 넓이

ω = 2π·900/60 = 94.25 rad/s

A = 0.004 m²

최대 기전력

E₀ = NBAω = 100·0.1·0.004·94.25 = 3.77 V

답

E₀ = 3.77 V

9.교류 임피던스와 페이저

답: C = 0.2026 µF

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

공진 조건

공진에서는 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(31416²·0.005) = 0.2026 µF

답

C = 0.2026 µF

10.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.04816 A

리액턴스

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0.05 = 314.2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·2.2·10⁻⁶) = 72.34 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (241.8)²) = 249.1 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 12/249.1 = 0.04816 A

답

I = 0.04816 A

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