쿨롱 법칙과 전기장
- 쿨롱 법칙
- F = k·|q1q2|/r²
- 점전하의 전기장
- E = k·|q|/r²
- 상수
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 전하가 받는 힘
- F = q·E
물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
저항의 직렬·병렬
- 저항의 직렬 연결
- Req = R1 + R2 + …
- 저항의 병렬 연결
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 두 저항의 병렬
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 옴의 법칙
- V = I·R
- 전력
- P = V·I = I²R = V²/R
방법
- 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
- 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
- 단계마다 회로를 다시 그리세요.
- 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.
RC·RL 과도 현상
- 시정수
- τ = RC | τ = L/R
- 응답
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 직류에서의 커패시터
- 개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
- 직류에서의 인덕터
- 단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
- 정상 상태 값
- t ≈ 5τ
방법
- 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
- 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
- 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.
자기장과 유도
- 긴 직선 도선
- B = μ0I/(2πr)
- 평평한 코일의 중심
- B = μ0NI/(2R)
- 긴 솔레노이드
- B = μ0nI, n = N/L
- 상수
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 도선에 작용하는 힘
- F = BIL·sin θ
- 전하가 받는 힘
- F = |q|vB·sin θ
- 원운동
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 평행한 도선
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 선속
- Φ = BA·cos θ
- 패러데이 법칙
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 움직이는 막대
- ε = BLv
- 발전기
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 인덕턴스
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 상호 인덕턴스
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 속도 선택기와 질량 분석기
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
방법
- 모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
- 올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
- 유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
- 방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.
교류 임피던스와 페이저
- 임피던스
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 각주파수
- ω = 2πf
- 크기와 위상각
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 페이저 옴의 법칙
- V = I·Z
방법
- 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
- 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
- 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
- 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.
2연습 문제
1.쿨롱 법칙과 전기장보통
+8 µC인 전하와 +3 µC인 전하가 50 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하를 잇는 선분 위에 있으며 첫 번째 전하로부터 30 cm 떨어져 있다. P에서 전기장의 크기 E을(를) 구하시오.
q1 = +8 µCq2 = +3 µCr1 = 30 cmr2 = 20 cm
E = N/C
2.쿨롱 법칙과 전기장어려움
전자가 평행한 두 판 사이의 균일한 전기장에 판과 평행하게 4.5 × 10⁷ m/s로 들어간다. 판의 길이는 5 cm이고 판 사이의 전기장은 4600 N/C이다. 전자의 전하는 1.602 × 10⁻¹⁹ C, 질량은 9.109 × 10⁻³¹ kg이며 중력은 무시한다. 판을 벗어날 때 옆으로 얼마나 y 휘어지는가? mm로 답하시오.
v₀ = 4.5 × 10⁷ m/sL = 5 cmE = 4600 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.저항의 직렬·병렬보통
R2에 흐르는 전류 IR2을(를) 구하시오.
V1 = 15 VR1 = 8 ΩR2 = 5 ΩR3 = 15 ΩR4 = 20 Ω
IR2 = A
4.저항의 직렬·병렬어려움
전원 V1이(가) 보는 합성 저항 Req을(를) 구하시오.
V1 = 5 VR1 = 12 ΩR2 = 3 ΩR3 = 4 ΩR4 = 15 ΩR5 = 2 ΩR6 = 10 Ω
Req = Ω
5.RC·RL 과도 현상보통
t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. t = 5 ms에서 전류 i을(를) 구하시오.
Vs = 6 VR = 22 ΩL = 47 mHt = 5 ms
i = A
6.RC·RL 과도 현상어려움
R2 양단의 스위치가 오랫동안 열려 있었으므로 인덕터 전류는 정상 상태이다. t = 0에 스위치가 닫혀 R2을(를) 단락한다. t = 1 ms에서의 인덕터 전류 i을(를) 구하시오.
Vs = 6 VR1 = 15 ΩR2 = 10 ΩL = 22 mHt = 1 ms
i = A
7.자기장과 유도보통
길이 30 cm인 금속 막대가 종이 속으로 향하는 세기 0.5 T의 균일한 자기장 속에서 두 레일을 따라 2.5 m/s로 미끄러진다. 레일은 0.5 Ω 저항으로 연결되어 있고 막대와 레일의 저항은 무시한다. 막대를 일정한 속력으로 움직이는 데 필요한 힘 F을(를) 구하시오(마찰 없음).
B = 0.5 TL = 30 cmv = 2.5 m/sR = 0.5 Ω
F = mN
8.자기장과 유도어려움
자체 인덕턴스가 200 mH와 200 mH인 두 코일의 결합 계수가 0.8이다. 첫 번째 코일의 전류가 200 A/s로 변한다. 두 번째 코일에 유도되는 기전력 ε을(를) 구하시오.
L1 = 200 mHL2 = 200 mHk = 0.8di/dt = 200 A/s
ε = V
9.교류 임피던스와 페이저보통
C = 10 µF인 직렬 RLC 회로가 5000 Hz에서 공진해야 한다. 필요한 인덕턴스 L을(를) 구하시오.
f0 = 5000 HzC = 10 µF
L = mH
10.교류 임피던스와 페이저어려움
직렬 RLC 회로가 100 V (실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 회로의 공진 주파수 f0을(를) 구하시오.
V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 22 µF
f0 = Hz
3용액
1.쿨롱 법칙과 전기장
답: E = 124861 N/C
쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.
각 전하의 전기장
E1 = k·8 × 10⁻⁶/0.3² = 799111 N/C
E2 = k·3 × 10⁻⁶/0.2² = 674250 N/C
방향과 합
두 전하가 모두 양전하입니다: P에서 각 전기장은 자기 전하에서 멀어지는 방향, 즉 서로 반대 방향을 향합니다.
E = |799111 − 674250| = 124861 N/C
답
E = 124861 N/C
2.쿨롱 법칙과 전기장
답: y = 0.4994 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
판 사이를 지나는 시간
t = L/v₀ = 0.05/4.5 × 10⁷ = 1.111 × 10⁻⁹ s
옆 방향 가속도
a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·4600/9.109 × 10⁻³¹ = 8.09 × 10¹⁴ m/s²
처짐
y = ½·a·t² = ½·8.09 × 10¹⁴·(1.111 × 10⁻⁹)² = 0.0004994 m = 0.4994 mm
답
y = 0.4994 mm
전자는 전기장 방향과 반대로, 양극판 쪽으로 밀립니다.
3.저항의 직렬·병렬
답: IR2 = 1.061 A
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
먼 쪽 끝부터 저항 합치기
전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R3 + R4 = 15 + 20 = 35 Ω
R2 ∥ 35 = 5·35/(5+35) = 4.375 Ω
Req = R1 + 4.375 = 8 + 4.375 = 12.38 Ω
전원 전류
전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.
IR1 = V1/Req = 15/12.38 = 1.212 A
R₂에 흐르는 전류
R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.
VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 1.212·8 = 5.303 V
IR2 = VA/R2 = 5.303/5 = 1.061 A
답
IR2 = 1.061 A
4.저항의 직렬·병렬
답: Req = 14.34 Ω
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
먼 쪽 끝부터 저항 합치기
전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R5 + R6 = 2 + 10 = 12 Ω
R4 ∥ 12 = 6.667 Ω
R3 + 6.667 = 10.67 Ω
R2 ∥ 10.67 = 2.341 Ω
Req = R1 + 2.341 = 12 + 2.341 = 14.34 Ω
답
Req = 14.34 Ω
5.RC·RL 과도 현상
답: i = 0.2465 A
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
시정수와 최종 전류
스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.
τ = L/R = 47 mH / 22 Ω = 2.136 ms
i(∞) = Vs/R = 6/22 = 0.2727 A
주어진 시각의 전류
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.2727·(1 − e−5/2.136) = 0.2465 A
답
i = 0.2465 A
6.RC·RL 과도 현상
답: i = 0.3191 A
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
초기값, 최종값, 시정수
t = 0 전에는 두 저항이 모두 루프에 있고, 그 후에는 닫힌 스위치가 R₂를 우회합니다.
i(0) = 6/(15 + 10) = 0.24 A
i(∞) = 6/15 = 0.4 A
τ = L/R = 22/15 = 1.467 ms
i(t) = 0.4 + (0.24 − 0.4)·e−t/τ
주어진 시각의 전류
i(1) = 0.4 + (−0.16)·e−1/1.467 = 0.3191 A
답
i = 0.3191 A
7.자기장과 유도
답: F = 112.5 mN
전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.
운동 기전력
ε = BLv = 0.5·0.3·2.5 = 0.375 V
전류
I = ε/R = 0.375/0.5 = 0.75 A
제동력
렌츠 법칙: 유도 전류가 받는 힘은 운동을 방해합니다.
F = BIL = 0.5·0.75·0.3 = 0.1125 N
답
F = 112.5 mN
8.자기장과 유도
답: ε = 32 V
전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.
상호 인덕턴스
M = 0.8·√(200·200) = 160 mH
유도 기전력
ε = M·di/dt = 0.16·200 = 32 V
답
ε = 32 V
9.교류 임피던스와 페이저
답: L = 0.1013 mH
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
공진 조건
공진에서는 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC).
ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(31416²·10·10⁻⁶) = 0.1013 mH
답
L = 0.1013 mH
10.교류 임피던스와 페이저
답: f0 = 239.9 Hz
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
공진
공진 시 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC). 전원 주파수와는 관계없습니다.
f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.02·22·10⁻⁶)) = 239.9 Hz
답
f0 = 239.9 Hz
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