물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

똑같은 작은 금속구 두 개의 전하가 −1 µC와 −10 µC이다. 두 구를 접촉시킨 뒤 다시 30 cm 떨어뜨려 놓는다. 이제 두 구 사이의 힘의 크기 F을(를) 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −1 µCq₂ = −10 µCr = 30 cm

F = N

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

전자가 평행한 두 판 사이의 균일한 전기장에 판과 평행하게 3 × 10⁷ m/s로 들어간다. 판의 길이는 4 cm이고 판 사이의 전기장은 2500 N/C이다. 전자의 전하는 1.602 × 10⁻¹⁹ C, 질량은 9.109 × 10⁻³¹ kg이며 중력은 무시한다. 판을 벗어날 때 옆으로 얼마나 y 휘어지는가? mm로 답하시오.

v₀ = 3 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 2500 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9.109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.저항의 직렬·병렬보통

전원이 공급하며 R₁에 흐르는 전류 I_R1을(를) 구하시오.

V₁ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 6 VR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 20 Ω

R_eq = Ω

5.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. t = 1 ms에서 인덕터 전압 v_L을(를) 구하시오.

V_s = 24 VR = 68 ΩL = 100 mHt = 1 ms

v_L = V

6.RC·RL 과도 현상어려움

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 18 V이다. t = 120 ms에서 커패시터 전압 v_C을(를) 구하시오.

V_s = 10 VR = 6.8 kΩC = 68 µFv_C(0) = 18 Vt = 120 ms

v_C = V

7.자기장과 유도보통

감은 수 500, 넓이 10 cm², 저항 2 Ω인 코일이 닫힌 회로를 이룬다. 코일에 수직인 균일한 자기장이 50 ms 동안 0.2 T에서 0.8 T로 일정하게 증가한다. 평균 유도 전류 I을(를) 구하시오.

N = 500A = 10 cm²B: 0.2 T → 0.8 TΔt = 50 msR = 2 Ω

I = A

8.자기장과 유도어려움

감은 수 250, 20 cm × 15 cm인 코일이 자기장에 수직인 축을 중심으로 세기 0.3 T의 균일한 자기장 속에서 회전한다. 실효 기전력 99.96 V를 내려면 어떤 속력 n(분당 회전수)으로 돌려야 하는가?

N = 250A = 20 cm × 15 cmB = 0.3 TE_rms = 99.96 V

n = rpm

9.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 230 V (실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 100 µF

I = A

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로의 R = 20 Ω, L = 1 mH, C = 0.22 µF이다. 공진에서의 선택도 Q을(를) 구하시오.

R = 20 ΩL = 1 mHC = 0.22 µF

Q =

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 3.022 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

접촉 후의 전하

q′ = (−1 + −10)/2 = −5.5 µC

새 힘

F = 8.99 × 10⁹·(5.5 × 10⁻⁶)²/0.3² = 3.022 N

답

F = 3.022 N

이제 두 구의 부호가 같으므로 서로 밀어냅니다.

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: y = 0.3908 mm

판 사이를 지나는 시간

t = L/v₀ = 0.04/3 × 10⁷ = 1.333 × 10⁻⁹ s

옆 방향 가속도

a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·2500/9.109 × 10⁻³¹ = 4.397 × 10¹⁴ m/s²

처짐

y = ½·a·t² = ½·4.397 × 10¹⁴·(1.333 × 10⁻⁹)² = 0.0003908 m = 0.3908 mm

답

y = 0.3908 mm

전자는 전기장 방향과 반대로, 양극판 쪽으로 밀립니다.

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R1 = 1.692 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 3 + 5 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 3·8/(3+8) = 2.182 Ω

R_eq = R₁ + 2.182 = 12 + 2.182 = 14.18 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/14.18 = 1.692 A

답

I_R1 = 1.692 A

4.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 8.83 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 8 + 20 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 9.767 Ω

R₃ + 9.767 = 24.77 Ω

R₂ ∥ 24.77 = 4.83 Ω

R_eq = R₁ + 4.83 = 4 + 4.83 = 8.83 Ω

답

R_eq = 8.83 Ω

5.RC·RL 과도 현상

답: v_L = 12.16 V

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 100 mH / 68 Ω = 1.471 ms

i(∞) = V_s/R = 24/68 = 0.3529 A

인덕터 전압

t = 0에서는 전원 전압 전체가 인덕터에 걸리고, 이후 0으로 감소합니다.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 24·e^−1/1.471 = 12.16 V

답

v_L = 12.16 V

6.RC·RL 과도 현상

답: v_C = 16.17 V

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 6.8 kΩ · 68 µF = 462.4 ms

v_C(t) = 10 + (18 − 10)·e^−t/τ

주어진 시각의 전압

v_C(120) = 10 + (8)·e^−120/462.4 = 16.17 V

답

v_C = 16.17 V

7.자기장과 유도

답: I = 3 A

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

한 번 감긴 부분당 선속 변화

ΔΦ = (0.8 − 0.2)·0.001 = 0.0006 Wb

평균 기전력

ε = NΔΦ/Δt = 500·0.0006/0.05 = 6 V

전류

I = ε/R = 6/2 = 3 A

답

I = 3 A

8.자기장과 유도

답: n = 600 rpm

최대 기전력

E₀ = √2·E_rms = 141.4 V

각속도

ω = E₀/(NBA) = 141.4/(250·0.3·0.03) = 62.83 rad/s

분당 회전수

n = 60·62.83/(2π) = 600 rpm

답

n = 600 rpm

9.교류 임피던스와 페이저

답: I = 3.387 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.05 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7.958 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (54.87)²) = 67.91 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 230/67.91 = 3.387 A

답

I = 3.387 A

10.교류 임피던스와 페이저

답: Q = 3.371

공진 주파수

f₀ = 1/(2π·√(0.001·0.22·10⁻⁶)) = 10730 Hz

선택도

Q는 공진에서의 리액턴스를 저항과 비교합니다: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0.001/(0.22·10⁻⁶)) = 3.371

답

Q = 3.371

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