물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+5 µC와 +3 µC의 전하가 60 cm 떨어져 있다. 두 전하를 잇는 선 위에서 +5 µC 전하로부터 얼마나 떨어진 곳 x에서 전기장이 0인가?

q₁ = +5 µCq₂ = +3 µCd = 60 cm

x = cm

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

세 양의 점전하가 직각삼각형의 꼭짓점에 있다. q₃ = 2 µC는 직각인 꼭짓점에 있고, q₁ = 6 µC는 한 변을 따라 q₃에서 5 cm, q₂ = 3 µC는 다른 변을 따라 q₃에서 10 cm 떨어져 있다. q₃에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오.

q₁ = 6 µCq₂ = 3 µCq₃ = 2 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.저항의 직렬·병렬보통

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 6 VR₁ = 2 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

5.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. t = 1 ms에서 전류 i을(를) 구하시오.

V_s = 10 VR = 33 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

6.RC·RL 과도 현상어려움

스위치가 오랫동안 닫혀 있었으므로 회로는 정상 상태이다. t = 0에 스위치가 열린다. t = 75 ms에서 커패시터 전압 v_C을(를) 구하시오.

V_s = 30 VR₁ = 1 kΩR₂ = 3.3 kΩC = 33 µFt = 75 ms

v_C = V

7.자기장과 유도보통

길이 60 cm인 금속 막대가 종이 속으로 향하는 세기 0.1 T의 균일한 자기장 속에서 두 레일을 따라 10 m/s로 미끄러진다. 레일은 2 Ω 저항으로 연결되어 있고 막대와 레일의 저항은 무시한다. 저항에서 소비되는 전력 P을(를) 구하시오.

B = 0.1 TL = 60 cmv = 10 m/sR = 2 Ω

P = mW

8.자기장과 유도어려움

감은 수 100, 12 cm × 20 cm인 코일이 자기장에 수직인 축을 중심으로 세기 0.05 T의 균일한 자기장 속에서 회전한다. 실효 기전력 10.66 V를 내려면 어떤 속력 n(분당 회전수)으로 돌려야 하는가?

N = 100A = 12 cm × 20 cmB = 0.05 TE_rms = 10.66 V

n = rpm

9.교류 임피던스와 페이저보통

저항과 인덕터가 230 V(실효값), 50 Hz 전원에 병렬로 연결되어 있다. 임피던스의 크기 |Z|을(를) 구하시오.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 100 mH

|Z| = Ω

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로가 120 V (실효값), 100 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 22 µF

I = A

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: x = 33.81 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

같은 전기장

5/x² = 3/(60 − x)²

(60 − x)/x = √(3/5) = 0.7746

위치

x = 60/(1 + 0.7746) = 33.81 cm

답

x = 33.81 cm

0인 점은 항상 작은 전하에 더 가깝습니다.

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 43.49 N

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

q₃에 작용하는 각 힘

F₁ = k·6·2 × 10⁻¹²/0.05² = 43.15 N

F₂ = k·3·2 × 10⁻¹²/0.1² = 5.394 N

벡터 합

F = √(43.15² + 5.394²) = 43.49 N

답

F = 43.49 N

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 0.7714 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 3 + 12 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 8·15/(8+15) = 5.217 Ω

R_eq = R₁ + 5.217 = 10 + 5.217 = 15.22 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/15.22 = 1.183 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1.183·10 = 6.171 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6.171/8 = 0.7714 A

답

I_R2 = 0.7714 A

4.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 5.941 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 4 + 5 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 6.618 Ω

R₃ + 6.618 = 18.62 Ω

R₂ ∥ 18.62 = 3.941 Ω

R_eq = R₁ + 3.941 = 2 + 3.941 = 5.941 Ω

답

R_eq = 5.941 Ω

5.RC·RL 과도 현상

답: i = 0.2354 A

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 22 mH / 33 Ω = 0.6667 ms

i(∞) = V_s/R = 10/33 = 0.303 A

주어진 시각의 전류

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.303·(1 − e^−1/0.6667) = 0.2354 A

답

i = 0.2354 A

6.RC·RL 과도 현상

답: v_C = 11.56 V

초기 커패시터 전압

정상 상태에서 커패시터는 개방 회로이므로 R₁과 R₂가 전압 분배기를 이룹니다. 스위치가 열릴 때 커패시터 전압은 급변할 수 없습니다.

v_C(0) = 30·3.3/(1 + 3.3) = 23.02 V

스위치가 열린 뒤의 시정수

τ = R₂·C = 3.3·33 = 108.9 ms

방전

v_C(t) = 23.02·e^−75/108.9 = 11.56 V

답

v_C = 11.56 V

7.자기장과 유도

답: P = 180 mW

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

운동 기전력

ε = BLv = 0.1·0.6·10 = 0.6 V

전류

I = ε/R = 0.6/2 = 0.3 A

전력

P = εI = 0.6·0.3 = 0.18 W

답

P = 180 mW

8.자기장과 유도

답: n = 1200 rpm

최대 기전력

E₀ = √2·E_rms = 15.08 V

각속도

ω = E₀/(NBA) = 15.08/(100·0.05·0.024) = 125.6 rad/s

분당 회전수

n = 60·125.6/(2π) = 1200 rpm

답

n = 1200 rpm

9.교류 임피던스와 페이저

답: |Z| = 29.97 Ω

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

X_L = ωL = 2π·50·0.1 = 31.42 Ω

가지 전류

두 가지 모두 전원에 바로 연결되어 있으므로 각각 전체 전압 V를 받습니다.

I_R = V/R = 230/100 = 2.3 A

I_X = V/X_L = 230/31.42 = 7.321 A

전체 전류

저항 전류는 V와 동상이고 리액턴스 전류는 90° 위상차가 있으므로 직각삼각형의 변처럼 더해집니다.

I = √(I_R² + I_X²) = √(2.3² + 7.321²) = 7.674 A

임피던스

|Z| = V/I = 230/7.674 = 29.97 Ω

답

|Z| = 29.97 Ω

10.교류 임피던스와 페이저

답: I = 2.365 A

리액턴스

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.05 = 31.42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·22·10⁻⁶) = 72.34 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−40.93)²) = 50.74 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 120/50.74 = 2.365 A

답

I = 2.365 A

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