물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+2 µC인 전하와 +5 µC인 전하가 30 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하를 잇는 선분 위에 있으며 첫 번째 전하로부터 15 cm 떨어져 있다. P에서 전기장의 크기 E을(를) 구하시오.

q₁ = +2 µCq₂ = +5 µCr₁ = 15 cmr₂ = 15 cm

E = N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

세 양의 점전하가 직각삼각형의 꼭짓점에 있다. q₃ = 6 µC는 직각인 꼭짓점에 있고, q₁ = 2 µC는 한 변을 따라 q₃에서 10 cm, q₂ = 8 µC는 다른 변을 따라 q₃에서 6 cm 떨어져 있다. q₃에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오.

q₁ = 2 µCq₂ = 8 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.저항의 직렬·병렬보통

전원이 공급하며 R₁에 흐르는 전류 I_R1을(를) 구하시오.

V₁ = 9 VR₁ = 2 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 15 Ω

I_R1 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 36 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

5.RC·RL 과도 현상보통

인덕터에 1.5 A의 정상 전류가 흐른다. t = 0에 스위치가 R을 통한 루프를 닫고 전원이 제거되어, 인덕터 전류는 R을 통해 감쇠한다. t = 1 ms에서 R 양단의 전압 v_R을(를) 구하시오.

i(0) = 1.5 AR = 50 ΩL = 68 mHt = 1 ms

v_R = V

6.RC·RL 과도 현상어려움

R₂ 양단의 스위치가 오랫동안 열려 있었으므로 인덕터 전류는 정상 상태이다. t = 0에 스위치가 닫혀 R₂을(를) 단락한다. t = 0 후 얼마 만에 인덕터 전류가 0.582 A에 도달하는가? t을(를) 구하시오.

V_s = 20 VR₁ = 33 ΩR₂ = 5 ΩL = 100 mH

t = ms

7.자기장과 유도보통

감은 수 200, 넓이 20 cm²인 코일이 있다. 코일의 평면에 수직인 0.5 T의 균일한 자기장 속에서 코일을 250 ms 동안 뒤집는다(180° 회전). 평균 유도 기전력 ε을(를) 구하시오.

N = 200A = 20 cm²B = 0.5 TΔt = 250 ms

ε = V

8.자기장과 유도어려움

알파 입자이(가) 서로 수직인 장 E = 1 × 10⁴ V/m와 B₁ = 0.4 T가 있는 속도 선택기를 휘지 않고 통과한다. 그다음 직각으로 자기장 B₂ = 0.2 T만 있는 둘째 영역에 들어간다. 그곳에서 경로의 반지름 r을(를) 구하시오.

E = 1 × 10⁴ V/mB₁ = 0.4 TB₂ = 0.2 Tm = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.교류 임피던스와 페이저보통

C = 0.22 µF인 직렬 RLC 회로가 100 Hz에서 공진해야 한다. 필요한 인덕턴스 L을(를) 구하시오.

f₀ = 100 HzC = 0.22 µF

L = mH

10.교류 임피던스와 페이저어려움

저항 R₁이(가) R₂와(과) 커패시터 C의 병렬 조합과 직렬로 연결되어 100 V(실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR₁ = 20 ΩR₂ = 60 ΩC = 47 µF

I = A

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: E = 1.199 × 10⁶ N/C

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

각 전하의 전기장

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0.15² = 799111 N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0.15² = 1.998 × 10⁶ N/C

방향과 합

두 전하가 모두 양전하입니다: P에서 각 전기장은 자기 전하에서 멀어지는 방향, 즉 서로 반대 방향을 향합니다.

E = |799111 − 1.998 × 10⁶| = 1.199 × 10⁶ N/C

답

E = 1.199 × 10⁶ N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 120.4 N

q₃에 작용하는 각 힘

F₁ = k·2·6 × 10⁻¹²/0.1² = 10.79 N

F₂ = k·8·6 × 10⁻¹²/0.06² = 119.9 N

벡터 합

F = √(10.79² + 119.9²) = 120.4 N

답

F = 120.4 N

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R1 = 1.664 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 8 + 15 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 4·23/(4+23) = 3.407 Ω

R_eq = R₁ + 3.407 = 2 + 3.407 = 5.407 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/5.407 = 1.664 A

답

I_R1 = 1.664 A

4.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 14.38 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 3 + 8 = 11 Ω

R₄ ∥ 11 = 1.692 Ω

R₃ + 1.692 = 9.692 Ω

R₂ ∥ 9.692 = 4.383 Ω

R_eq = R₁ + 4.383 = 10 + 4.383 = 14.38 Ω

답

R_eq = 14.38 Ω

5.RC·RL 과도 현상

답: v_R = 35.95 V

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수

τ = L/R = 68 mH / 50 Ω = 1.36 ms

전류의 감쇠

i(t) = 1.5·e^−1/1.36 = 0.719 A

v_R = R·i = 50·0.719 = 35.95 V

답

v_R = 35.95 V

6.RC·RL 과도 현상

답: t = 3.631 ms

초기값, 최종값, 시정수

t = 0 전에는 두 저항이 모두 루프에 있고, 그 후에는 닫힌 스위치가 R₂를 우회합니다.

i(0) = 20/(33 + 5) = 0.5263 A

i(∞) = 20/33 = 0.6061 A

τ = L/R = 100/33 = 3.03 ms

i(t) = 0.6061 + (0.5263 − 0.6061)·e^−t/τ

시간에 대해 풀기

e^−t/τ = (0.582 − 0.6061)/(0.5263 − 0.6061) = 0.3017

t = 3.03·ln(3.314) = 3.631 ms

답

t = 3.631 ms

7.자기장과 유도

답: ε = 1.6 V

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

한 번 감긴 부분당 선속 변화

ΔΦ = 2·0.5·0.002 = 0.002 Wb

평균 기전력

ε = NΔΦ/Δt = 200·0.002/0.25 = 1.6 V

답

ε = 1.6 V

8.자기장과 유도

답: r = 0.2592 cm

자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

선택된 속력

휘지 않음: 전기력 qE가 자기력 qvB와 균형을 이룹니다.

v = E/B₁ = 1 × 10⁴/0.4 = 25000 m/s

둘째 자기장에서의 반지름

r = mv/(|q|B₂) = 0.002592 m = 0.2592 cm

답

r = 0.2592 cm

9.교류 임피던스와 페이저

답: L = 11514 mH

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

공진 조건

공진에서는 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·100 = 628.3 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(628.3²·0.22·10⁻⁶) = 11514 mH

답

L = 11514 mH

10.교류 임피던스와 페이저

답: I = 3.445 A

리액턴스

X_C = 1/(2π·200·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω

병렬 조합

분자와 분모에 켤레 복소수를 곱해 Z_p를 실수부와 허수부로 나누세요.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 4.425 − j15.68 Ω

전체 임피던스

Z = 20 + 4.425 − j15.68 = 24.43 − j15.68 Ω

|Z| = √(24.43² + 15.68²) = 29.03 Ω

전류

I = V/|Z| = 100/29.03 = 3.445 A

답

I = 3.445 A

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