물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+6 µC인 전하와 −5 µC인 전하가 40 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하를 잇는 선분 위에 있으며 첫 번째 전하로부터 20 cm 떨어져 있다. P에서 전기장의 크기 E을(를) 구하시오.

q₁ = +6 µCq₂ = −5 µCr₁ = 20 cmr₂ = 20 cm

E = N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

질량이 각각 8 g인 똑같은 작은 공 두 개가 같은 점에서 길이 80 cm의 절연 실에 매달려 있다. 두 공에 같은 전하를 주자 각 실이 연직에서 10°인 곳에서 멈춘다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 각 공의 전하 q을(를) nC로 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 80 cmθ = 10°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.저항의 직렬·병렬보통

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

4.저항의 직렬·병렬어려움

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

5.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. t = 5 ms에서 전류 i을(를) 구하시오.

V_s = 10 VR = 15 ΩL = 68 mHt = 5 ms

i = A

6.RC·RL 과도 현상어려움

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 20 V이다. v_C이(가) 14.4 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.

V_s = 6 VR = 3.3 kΩC = 33 µFv_C(0) = 20 V

t = ms

7.자기장과 유도보통

길이 20 cm인 금속 막대가 종이 속으로 향하는 세기 1 T의 균일한 자기장 속에서 두 레일을 따라 5 m/s로 미끄러진다. 레일은 0.5 Ω 저항으로 연결되어 있고 막대와 레일의 저항은 무시한다. 막대를 일정한 속력으로 움직이는 데 필요한 힘 F을(를) 구하시오(마찰 없음).

B = 1 TL = 20 cmv = 5 m/sR = 0.5 Ω

F = mN

8.자기장과 유도어려움

5 mH 인덕터의 전류가 2 ms 동안 3 A에서 0 A로 일정하게 변한다. 자체 유도 기전력의 크기 ε을(를) 구하시오.

L = 5 mH3 A → 0 AΔt = 2 ms

ε = V

9.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 100 V (실효값), 60 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 위상각 φ을(를) 도 단위로 구하시오 (전류가 전압보다 뒤질 때 양).

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 10 µF

φ = °

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로를 1 V(실효값) 전원으로 구동하며, 전원 주파수는 회로의 공진 주파수로 맞추어져 있다. 인덕터 양단의 실효 전압 V_L을(를) 구하시오.

V = 1 V (rms)R = 15 ΩL = 100 mHC = 4.7 µF

V_L = V

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: E = 2.472 × 10⁶ N/C

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

각 전하의 전기장

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0.2² = 1.348 × 10⁶ N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0.2² = 1.124 × 10⁶ N/C

방향과 합

첫 번째 전기장은 양전하에서 멀어지는 방향, 두 번째 전기장은 음전하 쪽을 향하므로 두 전기장의 방향이 같습니다.

E = |1.348 × 10⁶ + 1.124 × 10⁶| = 2.472 × 10⁶ N/C

답

E = 2.472 × 10⁶ N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: q = 344.7 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

평형에서 구한 전기력

장력의 수평 성분은 F와, 수직 성분은 m·g와 평형을 이룹니다.

F = m·g·tan θ = 0.008·9.81·tan 10° = 0.01384 N

두 공 사이의 거리

r = 2·L·sin θ = 2·0.8·sin 10° = 0.2778 m

전하

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.2778·√(0.01384/8.99 × 10⁹) = 3.447 × 10⁻⁷ C = 344.7 nC

답

q = 344.7 nC

3.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 12.24 Ω

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 8 + 6 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 20·14/(20+14) = 8.235 Ω

R_eq = R₁ + 8.235 = 4 + 8.235 = 12.24 Ω

답

R_eq = 12.24 Ω

4.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 24.93 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 8 + 8 = 16 Ω

R₄ ∥ 16 = 6.857 Ω

R₃ + 6.857 = 12.86 Ω

R₂ ∥ 12.86 = 4.932 Ω

R_eq = R₁ + 4.932 = 20 + 4.932 = 24.93 Ω

답

R_eq = 24.93 Ω

5.RC·RL 과도 현상

답: i = 0.4454 A

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 68 mH / 15 Ω = 4.533 ms

i(∞) = V_s/R = 10/15 = 0.6667 A

주어진 시각의 전류

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.6667·(1 − e^−5/4.533) = 0.4454 A

답

i = 0.4454 A

6.RC·RL 과도 현상

답: t = 55.63 ms

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 3.3 kΩ · 33 µF = 108.9 ms

v_C(t) = 6 + (20 − 6)·e^−t/τ

시간에 대해 풀기

14.4 = 6 + (14)·e^−t/τ → e^−t/τ = (14.4 − 6)/(20 − 6) = 0.6

t = τ·ln((20 − 6)/(14.4 − 6)) = 108.9·ln(1.667) = 55.63 ms

답

t = 55.63 ms

7.자기장과 유도

답: F = 400 mN

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

운동 기전력

ε = BLv = 1·0.2·5 = 1 V

전류

I = ε/R = 1/0.5 = 2 A

제동력

렌츠 법칙: 유도 전류가 받는 힘은 운동을 방해합니다.

F = BIL = 1·2·0.2 = 0.4 N

답

F = 400 mN

8.자기장과 유도

답: ε = 7.5 V

자체 유도 기전력

기전력은 전류의 변화를 방해하므로(렌츠) 부호는 ΔI와 반대이고, 크기는 L·|ΔI|/Δt입니다.

ε = L·ΔI/Δt = 0.005·3/0.002 = 7.5 V

답

ε = 7.5 V

9.교류 임피던스와 페이저

답: φ = −84.46 °

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0.02 = 7.54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265.3 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (−257.7)²) = 258.9 Ω

위상각

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−257.7/25) = −84.46°

답

φ = −84.46°

10.교류 임피던스와 페이저

답: V_L = 9.724 V

공진

공진에서는 리액턴스가 상쇄되므로 임피던스는 R뿐입니다.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.1·4.7·10⁻⁶) = 1459 rad/s

I = V/R = 1/15 = 0.06667 A

인덕터 양단의 전압

X_L = ω₀L = 1459·0.1 = 145.9 Ω

V_L = I·X_L = 0.06667·145.9 = 9.724 V

답

V_L = 9.724 V

이는 전원 전압의 Q = 9.724배입니다.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism