물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙
F = k·|q1q2|/r²
점전하의 전기장
E = k·|q|/r²
상수
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘
F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결
Req = R1 + R2 + …
저항의 병렬 연결
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
두 저항의 병렬
Req = R1R2 / (R1 + R2)
옴의 법칙
V = I·R
전력
P = V·I = I²R = V²/R

방법

  1. 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
  2. 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
  3. 단계마다 회로를 다시 그리세요.
  4. 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수
τ = RC | τ = L/R
응답
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
직류에서의 커패시터
개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터
단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값
t ≈ 5τ

방법

  1. 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
  2. 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
  3. 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선
B = μ0I/(2πr)
평평한 코일의 중심
B = μ0NI/(2R)
긴 솔레노이드
B = μ0nI, n = N/L
상수
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘
F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘
F = |q|vB·sin θ
원운동
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선
F/L = μ0I1I2/(2πd)
선속
Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙
ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대
ε = BLv
발전기
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
인덕턴스
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
속도 선택기와 질량 분석기
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

  1. 모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
  2. 올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
  3. 유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
  4. 방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z

방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통
++5 µC−−4 µCP10 cm

+5 µC인 전하와 −4 µC인 전하가 10 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하를 잇는 선분 위에 있으며 첫 번째 전하로부터 5 cm 떨어져 있다. P에서 전기장의 크기 E을(를) 구하시오.

q1 = +5 µCq2 = −4 µCr1 = 5 cmr2 = 5 cm
E = N/C
2.쿨롱 법칙과 전기장어려움
10 cm3 cm+q1​ = +3 µC+q3​ = +3 µC+q2​ = +2 µC

세 양의 점전하가 직각삼각형의 꼭짓점에 있다. q₃ = 3 µC는 직각인 꼭짓점에 있고, q₁ = 3 µC는 한 변을 따라 q₃에서 10 cm, q₂ = 2 µC는 다른 변을 따라 q₃에서 3 cm 떨어져 있다. q₃에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오.

q1 = 3 µCq2 = 2 µCq3 = 3 µCr13 = 10 cmr23 = 3 cm
F = N
3.저항의 직렬·병렬보통
R1​ = 2 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​15 ΩAR4​2 ΩB

전원 V1이(가) 보는 합성 저항 Req을(를) 구하시오.

V1 = 12 VR1 = 2 ΩR2 = 15 ΩR3 = 12 ΩR4 = 2 Ω
Req = Ω
4.저항의 직렬·병렬어려움
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 8 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​30 ΩAR4​6 ΩBR6​8 Ω

전원이 공급하며 R1에 흐르는 전류 IR1을(를) 구하시오.

V1 = 30 VR1 = 2 ΩR2 = 30 ΩR3 = 8 ΩR4 = 6 ΩR5 = 12 ΩR6 = 8 Ω
IR1 = A
5.RC·RL 과도 현상보통
+−Vs​5 Vt = 0R = 15 ΩL220 mHi(t)

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. t = 20 ms에서 인덕터 전압 vL을(를) 구하시오.

Vs = 5 VR = 15 ΩL = 220 mHt = 20 ms
vL = V
6.RC·RL 과도 현상어려움
+−Vs​15 Vt = 0R = 47 kΩC?+−vC​

타이머가 t = 0에 15 V 전원에서 저항을 통해 충전되지 않은 커패시터를 충전하기 시작한다. 타이머는 시작 후 정확히 250 ms에 커패시터 전압이 12 V에 도달할 때 작동해야 한다. R = 47 kΩ일 때 필요한 커패시턴스 C을(를) 구하시오.

Vs = 15 VVth = 12 VT = 250 msR = 47 kΩ
C = µF
7.자기장과 유도보통
5 A30 Ad = 3 cmP

3 cm 떨어진 긴 평행 도선 두 개에 같은 방향으로 5 A와 30 A의 전류가 흐른다. 두 도선의 한가운데 점 P에서의 자기선속밀도의 크기 B을(를) 구하시오.

I1 = 5 AI2 = 30 Ad = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
B = µT
8.자기장과 유도어려움
Bn = ?8 cm × 5 cmN = 50B = 0.1 T

감은 수 50, 8 cm × 5 cm인 코일이 자기장에 수직인 축을 중심으로 세기 0.1 T의 균일한 자기장 속에서 회전한다. 실효 기전력 4.443 V를 내려면 어떤 속력 n(분당 회전수)으로 돌려야 하는가?

N = 50A = 8 cm × 5 cmB = 0.1 TErms = 4.443 V
n = rpm
9.교류 임피던스와 페이저보통
230 V200 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 4.7 µFI

직렬 RLC 회로가 230 V (실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 전원에서 공급받는 유효 전력 P을(를) 구하시오.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF
P = W
10.교류 임피던스와 페이저어려움
VfR = 1 ΩL = 10 mHC = 2.2 µF

직렬 RLC 회로의 R = 1 Ω, L = 10 mH, C = 2.2 µF이다. 공진에서의 선택도 Q을(를) 구하시오.

R = 1 ΩL = 10 mHC = 2.2 µF
Q =

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: E = 3.236 × 10⁷ N/C

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

각 전하의 전기장

E1 = k·5 × 10⁻⁶/0.05² = 1.798 × 10⁷ N/C
E2 = k·4 × 10⁻⁶/0.05² = 1.438 × 10⁷ N/C

방향과 합

첫 번째 전기장은 양전하에서 멀어지는 방향, 두 번째 전기장은 음전하 쪽을 향하므로 두 전기장의 방향이 같습니다.

E = |1.798 × 10⁷ + 1.438 × 10⁷| = 3.236 × 10⁷ N/C

답

E = 3.236 × 10⁷ N/C
2.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 60.48 N

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

q₃에 작용하는 각 힘

F1 = k·3·3 × 10⁻¹²/0.1² = 8.091 N
F2 = k·2·3 × 10⁻¹²/0.03² = 59.93 N

벡터 합

F = √(8.091² + 59.93²) = 60.48 N

답

F = 60.48 N
3.저항의 직렬·병렬

답: Req = 9.241 Ω

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 2 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​12 VR2​15 ΩAR4​2 ΩB

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R3 + R4 = 12 + 2 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 15·14/(15+14) = 7.241 Ω
Req = R1 + 7.241 = 2 + 7.241 = 9.241 Ω

답

Req = 9.241 Ω
4.저항의 직렬·병렬

답: IR1 = 2.757 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

R1​ = 2 ΩR3​ = 8 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​30 ΩAR4​6 ΩBR6​8 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R5 + R6 = 12 + 8 = 20 Ω
R4 ∥ 20 = 4.615 Ω
R3 + 4.615 = 12.62 Ω
R2 ∥ 12.62 = 8.881 Ω
Req = R1 + 8.881 = 2 + 8.881 = 10.88 Ω

전원 전류

전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

IR1 = V1/Req = 30/10.88 = 2.757 A

답

IR1 = 2.757 A
5.RC·RL 과도 현상

답: vL = 1.279 V

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 220 mH / 15 Ω = 14.67 ms
i(∞) = Vs/R = 5/15 = 0.3333 A

인덕터 전압

t = 0에서는 전원 전압 전체가 인덕터에 걸리고, 이후 0으로 감소합니다.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 5·e−20/14.67 = 1.279 V

답

vL = 1.279 V
6.RC·RL 과도 현상

답: C = 3.305 µF

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

필요한 시정수

12 = 15·(1 − e−250/τ) → τ = 250/ln(15/(15 − 12))
τ = 250/1.609 = 155.3 ms

정전 용량

kΩ × µF는 밀리초입니다.

C = τ/R = 155.3/47 = 3.305 µF

답

C = 3.305 µF
7.자기장과 유도

답: B = 333.3 µT

전류의 자기장: 긴 직선 도선 주위의 자기력선은 원이며(오른손 법칙) B = μ₀I/(2πr)입니다. 감은 수 N인 평평한 원형 코일의 중심에서는 B = μ₀NI/(2R)입니다. 긴 솔레노이드 안에서는 자기장이 균일하며, 반지름과 관계없이 B = μ₀nI이고 n = N/L은 1미터당 감은 수입니다. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. SI 단위(미터와 암페어)로 계산하고, 여러 전원의 자기장은 벡터로 더하세요.

P에서 각 도선의 자기장

B1 = 2 × 10⁻⁷·5/0.015 = 66.67 µT
B2 = 2 × 10⁻⁷·30/0.015 = 400 µT

합치기

B = |B₁ − B₂| = 333.3 µT

답

B = 333.3 µT
8.자기장과 유도

답: n = 3000 rpm

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

최대 기전력

E₀ = √2·Erms = 6.283 V

각속도

ω = E₀/(NBA) = 6.283/(50·0.1·0.004) = 314.2 rad/s

분당 회전수

n = 60·314.2/(2π) = 3000 rpm

답

n = 3000 rpm
9.교류 임피던스와 페이저

답: P = 129.7 W

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

XL = 62.83 Ω, XC = 169.3 Ω

임피던스

|Z| = √(30² + (−106.5)²) = 110.6 Ω

유효 전력

인덕터와 커패시터는 에너지를 저장했다가 돌려줄 뿐이며, 저항이 유효 전력을 모두 흡수합니다.

I = 230/110.6 = 2.079 A
P = I²·R = 2.079²·30 = 129.7 W

답

P = 129.7 W
10.교류 임피던스와 페이저

답: Q = 67.42

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

공진 주파수

f0 = 1/(2π·√(0.01·2.2·10⁻⁶)) = 1073 Hz

선택도

Q는 공진에서의 리액턴스를 저항과 비교합니다: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/1)·√(0.01/(2.2·10⁻⁶)) = 67.42

답

Q = 67.42

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