물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+4 µC인 전하와 +1 µC인 전하가 10 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하를 잇는 선분 위에 있으며 첫 번째 전하로부터 5 cm 떨어져 있다. P에서 전기장의 크기 E을(를) 구하시오.

q₁ = +4 µCq₂ = +1 µCr₁ = 5 cmr₂ = 5 cm

E = N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

전자가 평행한 두 판 사이의 균일한 전기장에 판과 평행하게 3 × 10⁷ m/s로 들어간다. 판의 길이는 6 cm이고 판 사이의 전기장은 2400 N/C이다. 전자의 전하는 1.602 × 10⁻¹⁹ C, 질량은 9.109 × 10⁻³¹ kg이며 중력은 무시한다. 판을 벗어날 때 옆으로 얼마나 y 휘어지는가? mm로 답하시오.

v₀ = 3 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 2400 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9.109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.저항의 직렬·병렬보통

전원이 공급하며 R₁에 흐르는 전류 I_R1을(를) 구하시오.

V₁ = 18 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 6 VR₁ = 8 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 30 Ω

I_R2 = A

5.RC·RL 과도 현상보통

전원 Vₛ가 R₁을 통해 커패시터를 충전하며, R₂는 C와 병렬로 연결되어 있습니다. t = 0에서 스위치가 닫힐 때 커패시터는 충전되어 있지 않다. t = 100 ms에서 커패시터 전압 v_C을(를) 구하시오.

V_s = 24 VR₁ = 10 kΩR₂ = 2.2 kΩC = 47 µFt = 100 ms

v_C = V

6.RC·RL 과도 현상어려움

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 6 V이다. t = 500 ms에서 커패시터 전압 v_C을(를) 구하시오.

V_s = 20 VR = 6.8 kΩC = 100 µFv_C(0) = 6 Vt = 500 ms

v_C = V

7.자기장과 유도보통

감은 수 100, 넓이 25 cm²인 코일이 있다. 코일에 수직인 균일한 자기장이 100 ms 동안 0.2 T에서 1 T로 일정하게 증가한다. 평균 유도 기전력 ε을(를) 구하시오.

N = 100A = 25 cm²B: 0.2 T → 1 TΔt = 100 ms

ε = V

8.자기장과 유도어려움

감은 수 150, 20 cm × 5 cm인 코일이 자기장에 수직인 축을 중심으로 세기 0.5 T의 균일한 자기장 속에서 1800 rpm으로 회전한다. 기전력의 실횻값 E_rms을(를) 구하시오.

N = 150A = 20 cm × 5 cmB = 0.5 Tn = 1800 rpm

E_rms = V

9.교류 임피던스와 페이저보통

L = 10 mH인 직렬 RLC 회로가 500 Hz에서 공진해야 한다. 필요한 커패시턴스 C을(를) 구하시오.

f₀ = 500 HzL = 10 mH

C = µF

10.교류 임피던스와 페이저어려움

저항 R₁이(가) R₂와(과) 커패시터 C의 병렬 조합과 직렬로 연결되어 24 V(실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩC = 47 µF

I = A

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: E = 1.079 × 10⁷ N/C

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

각 전하의 전기장

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0.05² = 1.438 × 10⁷ N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0.05² = 3.596 × 10⁶ N/C

방향과 합

두 전하가 모두 양전하입니다: P에서 각 전기장은 자기 전하에서 멀어지는 방향, 즉 서로 반대 방향을 향합니다.

E = |1.438 × 10⁷ − 3.596 × 10⁶| = 1.079 × 10⁷ N/C

답

E = 1.079 × 10⁷ N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: y = 0.8442 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

판 사이를 지나는 시간

t = L/v₀ = 0.06/3 × 10⁷ = 2 × 10⁻⁹ s

옆 방향 가속도

a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·2400/9.109 × 10⁻³¹ = 4.221 × 10¹⁴ m/s²

처짐

y = ½·a·t² = ½·4.221 × 10¹⁴·(2 × 10⁻⁹)² = 0.0008442 m = 0.8442 mm

답

y = 0.8442 mm

전자는 전기장 방향과 반대로, 양극판 쪽으로 밀립니다.

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R1 = 0.7991 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 6 + 10 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 3·16/(3+16) = 2.526 Ω

R_eq = R₁ + 2.526 = 20 + 2.526 = 22.53 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/22.53 = 0.7991 A

답

I_R1 = 0.7991 A

4.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 0.4693 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 3 + 30 = 33 Ω

R₄ ∥ 33 = 15.71 Ω

R₃ + 15.71 = 40.71 Ω

R₂ ∥ 40.71 = 3.642 Ω

R_eq = R₁ + 3.642 = 8 + 3.642 = 11.64 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/11.64 = 0.5154 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0.5154·8 = 1.877 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1.877/4 = 0.4693 A

답

I_R2 = 0.4693 A

5.RC·RL 과도 현상

답: v_C = 2.998 V

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

커패시터에서 본 테브난 등가 회로

R_th를 구하려면 전원을 단락하고, 최종 전압을 구하려면 커패시터를 개방하세요.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·2.2/(10 + 2.2) = 1.803 kΩ

v_C(∞) = 24·2.2/(10 + 2.2) = 4.328 V

시정수

τ = R_th·C = 1.803·47 = 84.75 ms

충전 곡선

v_C(t) = 4.328·(1 − e^−100/84.75) = 2.998 V

답

v_C = 2.998 V

6.RC·RL 과도 현상

답: v_C = 13.29 V

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

v_C(0) = 6 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 6.8 kΩ · 100 µF = 680 ms

v_C(t) = 20 + (6 − 20)·e^−t/τ

주어진 시각의 전압

v_C(500) = 20 + (−14)·e^−500/680 = 13.29 V

답

v_C = 13.29 V

7.자기장과 유도

답: ε = 2 V

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

한 번 감긴 부분당 선속 변화

ΔΦ = (1 − 0.2)·0.0025 = 0.002 Wb

평균 기전력

ε = NΔΦ/Δt = 100·0.002/0.1 = 2 V

답

ε = 2 V

8.자기장과 유도

답: E_rms = 99.96 V

각속도와 넓이

ω = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

A = 0.01 m²

최대 기전력

E₀ = NBAω = 150·0.5·0.01·188.5 = 141.4 V

실횻값

E_rms = 141.4/√2 = 99.96 V

답

E_rms = 99.96 V

9.교류 임피던스와 페이저

답: C = 10.13 µF

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

공진 조건

공진에서는 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0.01) = 10.13 µF

답

C = 10.13 µF

10.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.7996 A

리액턴스

X_C = 1/(2π·200·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω

병렬 조합

분자와 분모에 켤레 복소수를 곱해 Z_p를 실수부와 허수부로 나누세요.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 8.35 − j9.863 Ω

전체 임피던스

Z = 20 + 8.35 − j9.863 = 28.35 − j9.863 Ω

|Z| = √(28.35² + 9.863²) = 30.02 Ω

전류

I = V/|Z| = 24/30.02 = 0.7996 A

답

I = 0.7996 A

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