물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+5 µC인 전하와 −8 µC인 전하가 30 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하를 잇는 선분 위에 있으며 첫 번째 전하로부터 15 cm 떨어져 있다. P에서 전기장의 크기 E을(를) 구하시오.

q₁ = +5 µCq₂ = −8 µCr₁ = 15 cmr₂ = 15 cm

E = N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

전자가 평행한 두 판 사이의 균일한 전기장에 판과 평행하게 5 × 10⁷ m/s로 들어간다. 판의 길이는 5 cm이고 판 사이의 전기장은 4000 N/C이다. 전자의 전하는 1.602 × 10⁻¹⁹ C, 질량은 9.109 × 10⁻³¹ kg이며 중력은 무시한다. 판을 벗어날 때 옆으로 얼마나 y 휘어지는가? mm로 답하시오.

v₀ = 5 × 10⁷ m/sL = 5 cmE = 4000 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9.109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.저항의 직렬·병렬보통

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

4.저항의 직렬·병렬어려움

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 18 VR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 15 Ω

I_R2 = A

5.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. t = 10 ms에서 인덕터 전압 v_L을(를) 구하시오.

V_s = 5 VR = 50 ΩL = 220 mHt = 10 ms

v_L = V

6.RC·RL 과도 현상어려움

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 15 V이다. t = 25 ms에서 커패시터 전압 v_C을(를) 구하시오.

V_s = 9 VR = 1 kΩC = 10 µFv_C(0) = 15 Vt = 25 ms

v_C = V

7.자기장과 유도보통

감은 수 100, 넓이 80 cm²인 코일이 있다. 코일에 수직인 균일한 자기장이 100 ms 동안 0.05 T에서 0.25 T로 일정하게 증가한다. 평균 유도 기전력 ε을(를) 구하시오.

N = 100A = 80 cm²B: 0.05 T → 0.25 TΔt = 100 ms

ε = V

8.자기장과 유도어려움

감은 수 100, 8 cm × 5 cm인 코일이 자기장에 수직인 축을 중심으로 세기 0.3 T의 균일한 자기장 속에서 회전한다. 실효 기전력 13.33 V를 내려면 어떤 속력 n(분당 회전수)으로 돌려야 하는가?

N = 100A = 8 cm × 5 cmB = 0.3 TE_rms = 13.33 V

n = rpm

9.교류 임피던스와 페이저보통

C = 10 µF인 직렬 RLC 회로가 2000 Hz에서 공진해야 한다. 필요한 인덕턴스 L을(를) 구하시오.

f₀ = 2000 HzC = 10 µF

L = mH

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로를 5 V(실효값) 전원으로 구동하며, 전원 주파수는 회로의 공진 주파수로 맞추어져 있다. 인덕터 양단의 실효 전압 V_L을(를) 구하시오.

V = 5 V (rms)R = 10 ΩL = 50 mHC = 10 µF

V_L = V

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: E = 5.194 × 10⁶ N/C

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

각 전하의 전기장

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0.15² = 1.998 × 10⁶ N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0.15² = 3.196 × 10⁶ N/C

방향과 합

첫 번째 전기장은 양전하에서 멀어지는 방향, 두 번째 전기장은 음전하 쪽을 향하므로 두 전기장의 방향이 같습니다.

E = |1.998 × 10⁶ + 3.196 × 10⁶| = 5.194 × 10⁶ N/C

답

E = 5.194 × 10⁶ N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: y = 0.3517 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

판 사이를 지나는 시간

t = L/v₀ = 0.05/5 × 10⁷ = 1 × 10⁻⁹ s

옆 방향 가속도

a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·4000/9.109 × 10⁻³¹ = 7.035 × 10¹⁴ m/s²

처짐

y = ½·a·t² = ½·7.035 × 10¹⁴·(1 × 10⁻⁹)² = 0.0003517 m = 0.3517 mm

답

y = 0.3517 mm

전자는 전기장 방향과 반대로, 양극판 쪽으로 밀립니다.

3.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 17.1 Ω

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 6 + 5 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 20·11/(20+11) = 7.097 Ω

R_eq = R₁ + 7.097 = 10 + 7.097 = 17.1 Ω

답

R_eq = 17.1 Ω

4.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 0.7234 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 15 + 15 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 1.875 Ω

R₃ + 1.875 = 13.88 Ω

R₂ ∥ 13.88 = 8.192 Ω

R_eq = R₁ + 8.192 = 2 + 8.192 = 10.19 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/10.19 = 1.766 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1.766·2 = 14.47 V

I_R2 = V_A/R₂ = 14.47/20 = 0.7234 A

답

I_R2 = 0.7234 A

5.RC·RL 과도 현상

답: v_L = 0.5152 V

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 220 mH / 50 Ω = 4.4 ms

i(∞) = V_s/R = 5/50 = 0.1 A

인덕터 전압

t = 0에서는 전원 전압 전체가 인덕터에 걸리고, 이후 0으로 감소합니다.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 5·e^−10/4.4 = 0.5152 V

답

v_L = 0.5152 V

6.RC·RL 과도 현상

답: v_C = 9.493 V

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

v_C(0) = 15 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 1 kΩ · 10 µF = 10 ms

v_C(t) = 9 + (15 − 9)·e^−t/τ

주어진 시각의 전압

v_C(25) = 9 + (6)·e^−25/10 = 9.493 V

답

v_C = 9.493 V

7.자기장과 유도

답: ε = 1.6 V

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

한 번 감긴 부분당 선속 변화

ΔΦ = (0.25 − 0.05)·0.008 = 0.0016 Wb

평균 기전력

ε = NΔΦ/Δt = 100·0.0016/0.1 = 1.6 V

답

ε = 1.6 V

8.자기장과 유도

답: n = 1500 rpm

최대 기전력

E₀ = √2·E_rms = 18.85 V

각속도

ω = E₀/(NBA) = 18.85/(100·0.3·0.004) = 157.1 rad/s

분당 회전수

n = 60·157.1/(2π) = 1500 rpm

답

n = 1500 rpm

9.교류 임피던스와 페이저

답: L = 0.6333 mH

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

공진 조건

공진에서는 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(12566²·10·10⁻⁶) = 0.6333 mH

답

L = 0.6333 mH

10.교류 임피던스와 페이저

답: V_L = 35.36 V

공진

공진에서는 리액턴스가 상쇄되므로 임피던스는 R뿐입니다.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.05·10·10⁻⁶) = 1414 rad/s

I = V/R = 5/10 = 0.5 A

인덕터 양단의 전압

X_L = ω₀L = 1414·0.05 = 70.71 Ω

V_L = I·X_L = 0.5·70.71 = 35.36 V

답

V_L = 35.36 V

이는 전원 전압의 Q = 7.071배입니다.

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