물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

똑같은 작은 금속구 두 개의 전하가 −10 µC와 −2 µC이다. 두 구를 접촉시킨 뒤 다시 50 cm 떨어뜨려 놓는다. 이제 두 구 사이의 힘의 크기 F을(를) 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −10 µCq₂ = −2 µCr = 50 cm

F = N

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

세 양의 점전하가 직각삼각형의 꼭짓점에 있다. q₃ = 6 µC는 직각인 꼭짓점에 있고, q₁ = 1 µC는 한 변을 따라 q₃에서 3 cm, q₂ = 8 µC는 다른 변을 따라 q₃에서 6 cm 떨어져 있다. q₃에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오.

q₁ = 1 µCq₂ = 8 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.저항의 직렬·병렬보통

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 6 VR₁ = 8 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

4.저항의 직렬·병렬어려움

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 36 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 15 Ω

I_R2 = A

5.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. 스위치를 닫은 뒤 얼마 후에 전류가 최종값의 95%에 도달하는가? t을(를) 구하시오.

V_s = 6 VR = 10 ΩL = 220 mH

t = ms

6.RC·RL 과도 현상어려움

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 18 V이다. v_C이(가) 14.1 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.

V_s = 5 VR = 3.3 kΩC = 220 µFv_C(0) = 18 V

t = ms

7.자기장과 유도보통

감은 수 500, 넓이 80 cm²인 코일이 있다. 코일에 수직인 균일한 자기장이 40 ms 동안 0.05 T에서 0.55 T로 일정하게 증가한다. 평균 유도 기전력 ε을(를) 구하시오.

N = 500A = 80 cm²B: 0.05 T → 0.55 TΔt = 40 ms

ε = V

8.자기장과 유도어려움

긴 공심 솔레노이드의 감은 수가 500, 길이가 15 cm, 지름이 1 cm이다. 4 A가 흐를 때 자기장에 저장된 에너지 W을(를) 구하시오.

N = 500l = 15 cm⌀ = 1 cmI = 4 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.교류 임피던스와 페이저보통

L = 2 mH인 직렬 RLC 회로가 2000 Hz에서 공진해야 한다. 필요한 커패시턴스 C을(를) 구하시오.

f₀ = 2000 HzL = 2 mH

C = µF

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로의 R = 100 Ω, L = 10 mH, C = 0.047 µF이다. 대역폭 B(반전력 주파수 사이 대역의 폭)을(를) Hz로 구하시오.

R = 100 ΩL = 10 mHC = 0.047 µF

B = Hz

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 1.295 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

접촉 후의 전하

q′ = (−10 + −2)/2 = −6 µC

새 힘

F = 8.99 × 10⁹·(6 × 10⁻⁶)²/0.5² = 1.295 N

답

F = 1.295 N

이제 두 구의 부호가 같으므로 서로 밀어냅니다.

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 134 N

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

q₃에 작용하는 각 힘

F₁ = k·1·6 × 10⁻¹²/0.03² = 59.93 N

F₂ = k·8·6 × 10⁻¹²/0.06² = 119.9 N

벡터 합

F = √(59.93² + 119.9²) = 134 N

답

F = 134 N

3.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 13.83 Ω

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 4 + 10 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 10·14/(10+14) = 5.833 Ω

R_eq = R₁ + 5.833 = 8 + 5.833 = 13.83 Ω

답

R_eq = 13.83 Ω

4.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 2.971 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 20 + 15 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 1.892 Ω

R₃ + 1.892 = 26.89 Ω

R₂ ∥ 26.89 = 4.906 Ω

R_eq = R₁ + 4.906 = 5 + 4.906 = 9.906 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/9.906 = 3.634 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 3.634·5 = 17.83 V

I_R2 = V_A/R₂ = 17.83/6 = 2.971 A

답

I_R2 = 2.971 A

5.RC·RL 과도 현상

답: t = 65.91 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 220 mH / 10 Ω = 22 ms

i(∞) = V_s/R = 6/10 = 0.6 A

시간에 대해 풀기

0.95 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.95)

t = −22·ln(0.05) = 65.91 ms

답

t = 65.91 ms

6.RC·RL 과도 현상

답: t = 258.9 ms

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 3.3 kΩ · 220 µF = 726 ms

v_C(t) = 5 + (18 − 5)·e^−t/τ

시간에 대해 풀기

14.1 = 5 + (13)·e^−t/τ → e^−t/τ = (14.1 − 5)/(18 − 5) = 0.7

t = τ·ln((18 − 5)/(14.1 − 5)) = 726·ln(1.429) = 258.9 ms

답

t = 258.9 ms

7.자기장과 유도

답: ε = 50 V

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

한 번 감긴 부분당 선속 변화

ΔΦ = (0.55 − 0.05)·0.008 = 0.004 Wb

평균 기전력

ε = NΔΦ/Δt = 500·0.004/0.04 = 50 V

답

ε = 50 V

8.자기장과 유도

답: W = 1.316 mJ

자체 인덕턴스

L = μ₀N²A/l = 164.5 µH

저장된 에너지

W = ½LI² = ½·0.0001645·4² = 0.001316 J = 1.316 mJ

답

W = 1.316 mJ

9.교류 임피던스와 페이저

답: C = 3.166 µF

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

공진 조건

공진에서는 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·2000 = 12566 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(12566²·0.002) = 3.166 µF

답

C = 3.166 µF

10.교류 임피던스와 페이저

답: B = 1592 Hz

공진 주파수

f₀ = 1/(2π·√(0.01·0.047·10⁻⁶)) = 7341 Hz

선택도

Q는 공진에서의 리액턴스를 저항과 비교합니다: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0.01/(0.047·10⁻⁶)) = 4.613

대역폭

B = f₀/Q = 7341/4.613 = 1592 Hz

답

B = 1592 Hz

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