쿨롱 법칙과 전기장
- 쿨롱 법칙
- F = k·|q1q2|/r²
- 점전하의 전기장
- E = k·|q|/r²
- 상수
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 전하가 받는 힘
- F = q·E
물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
저항의 직렬·병렬
- 저항의 직렬 연결
- Req = R1 + R2 + …
- 저항의 병렬 연결
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 두 저항의 병렬
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 옴의 법칙
- V = I·R
- 전력
- P = V·I = I²R = V²/R
방법
- 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
- 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
- 단계마다 회로를 다시 그리세요.
- 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.
RC·RL 과도 현상
- 시정수
- τ = RC | τ = L/R
- 응답
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 직류에서의 커패시터
- 개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
- 직류에서의 인덕터
- 단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
- 정상 상태 값
- t ≈ 5τ
방법
- 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
- 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
- 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.
자기장과 유도
- 긴 직선 도선
- B = μ0I/(2πr)
- 평평한 코일의 중심
- B = μ0NI/(2R)
- 긴 솔레노이드
- B = μ0nI, n = N/L
- 상수
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 도선에 작용하는 힘
- F = BIL·sin θ
- 전하가 받는 힘
- F = |q|vB·sin θ
- 원운동
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 평행한 도선
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 선속
- Φ = BA·cos θ
- 패러데이 법칙
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 움직이는 막대
- ε = BLv
- 발전기
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 인덕턴스
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 상호 인덕턴스
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 속도 선택기와 질량 분석기
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
방법
- 모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
- 올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
- 유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
- 방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.
교류 임피던스와 페이저
- 임피던스
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 각주파수
- ω = 2πf
- 크기와 위상각
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 페이저 옴의 법칙
- V = I·Z
방법
- 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
- 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
- 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
- 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.
2연습 문제
1.쿨롱 법칙과 전기장보통
+8 µC인 전하와 +2 µC인 전하가 10 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하를 잇는 선분 위에 있으며 첫 번째 전하로부터 2.5 cm 떨어져 있다. P에서 전기장의 크기 E을(를) 구하시오.
q1 = +8 µCq2 = +2 µCr1 = 2.5 cmr2 = 7.5 cm
E = N/C
2.쿨롱 법칙과 전기장어려움
전자가 평행한 두 판 사이의 균일한 전기장에 판과 평행하게 1.5 × 10⁷ m/s로 들어간다. 판의 길이는 6 cm이고 판 사이의 전기장은 3600 N/C이다. 전자의 전하는 1.602 × 10⁻¹⁹ C, 질량은 9.109 × 10⁻³¹ kg이며 중력은 무시한다. 판을 벗어날 때 옆으로 얼마나 y 휘어지는가? mm로 답하시오.
v₀ = 1.5 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 3600 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.저항의 직렬·병렬보통
전원 V1이(가) 보는 합성 저항 Req을(를) 구하시오.
V1 = 30 VR1 = 5 ΩR2 = 10 ΩR3 = 12 ΩR4 = 2 Ω
Req = Ω
4.저항의 직렬·병렬어려움
전원 V1이(가) 보는 합성 저항 Req을(를) 구하시오.
V1 = 10 VR1 = 15 ΩR2 = 2 ΩR3 = 4 ΩR4 = 4 ΩR5 = 2 ΩR6 = 8 Ω
Req = Ω
5.RC·RL 과도 현상보통
인덕터에 1 A의 정상 전류가 흐른다. t = 0에 스위치가 R을 통한 루프를 닫고 전원이 제거되어, 인덕터 전류는 R을 통해 감쇠한다. t = 20 ms에서 전류 i을(를) 구하시오.
i(0) = 1 AR = 22 ΩL = 150 mHt = 20 ms
i = A
6.RC·RL 과도 현상어려움
스위치가 오랫동안 닫혀 있었으므로 회로는 정상 상태이다. t = 0에 스위치가 열린다. t = 300 ms에서 R2을(를) 흐르는 전류 i2을(를) 구하시오.
Vs = 10 VR1 = 10 kΩR2 = 4.7 kΩC = 47 µFt = 300 ms
i2 = mA
7.자기장과 유도보통
2 × 10⁶ m/s로 움직이는 알파 입자이(가) 균일한 자기장에 직각으로 들어와 반지름 10.37 cm의 원을 그리며 움직인다. 자기선속밀도 B을(를) 구하시오.
m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ Cv = 2 × 10⁶ m/sr = 10.37 cm
B = T
8.자기장과 유도어려움
감은 수 150, 12 cm × 10 cm인 코일이 자기장에 수직인 축을 중심으로 세기 0.25 T의 균일한 자기장 속에서 1200 rpm으로 회전한다. 기전력의 실횻값 Erms을(를) 구하시오.
N = 150A = 12 cm × 10 cmB = 0.25 Tn = 1200 rpm
Erms = V
9.교류 임피던스와 페이저보통
L = 1 mH인 직렬 RLC 회로가 100 Hz에서 공진해야 한다. 필요한 커패시턴스 C을(를) 구하시오.
f0 = 100 HzL = 1 mH
C = µF
10.교류 임피던스와 페이저어려움
직렬 RLC 회로가 120 V (실효값), 500 Hz 전원에 연결되어 있다. 커패시터 양단 실효 전압 VC을(를) 구하시오.
V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF
VC = V
3용액
1.쿨롱 법칙과 전기장
답: E = 1.119 × 10⁸ N/C
쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.
각 전하의 전기장
E1 = k·8 × 10⁻⁶/0.025² = 1.151 × 10⁸ N/C
E2 = k·2 × 10⁻⁶/0.075² = 3.196 × 10⁶ N/C
방향과 합
두 전하가 모두 양전하입니다: P에서 각 전기장은 자기 전하에서 멀어지는 방향, 즉 서로 반대 방향을 향합니다.
E = |1.151 × 10⁸ − 3.196 × 10⁶| = 1.119 × 10⁸ N/C
답
E = 1.119 × 10⁸ N/C
2.쿨롱 법칙과 전기장
답: y = 5.065 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
판 사이를 지나는 시간
t = L/v₀ = 0.06/1.5 × 10⁷ = 4 × 10⁻⁹ s
옆 방향 가속도
a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·3600/9.109 × 10⁻³¹ = 6.331 × 10¹⁴ m/s²
처짐
y = ½·a·t² = ½·6.331 × 10¹⁴·(4 × 10⁻⁹)² = 0.005065 m = 5.065 mm
답
y = 5.065 mm
전자는 전기장 방향과 반대로, 양극판 쪽으로 밀립니다.
3.저항의 직렬·병렬
답: Req = 10.83 Ω
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
먼 쪽 끝부터 저항 합치기
전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R3 + R4 = 12 + 2 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 10·14/(10+14) = 5.833 Ω
Req = R1 + 5.833 = 5 + 5.833 = 10.83 Ω
답
Req = 10.83 Ω
4.저항의 직렬·병렬
답: Req = 16.55 Ω
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
먼 쪽 끝부터 저항 합치기
전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R5 + R6 = 2 + 8 = 10 Ω
R4 ∥ 10 = 2.857 Ω
R3 + 2.857 = 6.857 Ω
R2 ∥ 6.857 = 1.548 Ω
Req = R1 + 1.548 = 15 + 1.548 = 16.55 Ω
답
Req = 16.55 Ω
5.RC·RL 과도 현상
답: i = 0.05322 A
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
시정수
τ = L/R = 150 mH / 22 Ω = 6.818 ms
전류의 감쇠
i(t) = 1·e−20/6.818 = 0.05322 A
답
i = 0.05322 A
6.RC·RL 과도 현상
답: i2 = 0.1749 mA
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
초기 커패시터 전압
정상 상태에서 커패시터는 개방 회로이므로 R₁과 R₂가 전압 분배기를 이룹니다. 스위치가 열릴 때 커패시터 전압은 급변할 수 없습니다.
vC(0) = 10·4.7/(10 + 4.7) = 3.197 V
스위치가 열린 뒤의 시정수
τ = R2·C = 4.7·47 = 220.9 ms
방전
vC(t) = 3.197·e−300/220.9 = 0.8222 V
i2 = vC/R2 = 0.8222/4.7 = 0.1749 mA
답
i2 = 0.1749 mA
7.자기장과 유도
답: B = 0.4 T
자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
반지름으로 구하는 자기장
B = mv/(|q|r) = 6.645 × 10⁻²⁷·2 × 10⁶/(3.204 × 10⁻¹⁹·0.1037) = 0.4 T
답
B = 0.4 T
8.자기장과 유도
답: Erms = 39.99 V
전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.
각속도와 넓이
ω = 2π·1200/60 = 125.7 rad/s
A = 0.012 m²
최대 기전력
E₀ = NBAω = 150·0.25·0.012·125.7 = 56.55 V
실횻값
Erms = 56.55/√2 = 39.99 V
답
Erms = 39.99 V
9.교류 임피던스와 페이저
답: C = 2533 µF
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
공진 조건
공진에서는 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC).
ω₀ = 2π·100 = 628.3 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(628.3²·0.001) = 2533 µF
답
C = 2533 µF
10.교류 임피던스와 페이저
답: VC = 202.9 V
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.02 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·2.2·10⁻⁶) = 144.7 Ω
임피던스
직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (−81.85)²) = 85.59 Ω
전류
직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.
I = V/|Z| = 120/85.59 = 1.402 A
커패시터 전압
VC = I·XC = 1.402·144.7 = 202.9 V
답
VC = 202.9 V
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