물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+2 µC인 전하와 +2 µC인 전하가 30 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하를 잇는 선분 위에 있으며 첫 번째 전하로부터 7.5 cm 떨어져 있다. P에서 전기장의 크기 E을(를) 구하시오.

q₁ = +2 µCq₂ = +2 µCr₁ = 7.5 cmr₂ = 22.5 cm

E = N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

+6 µC와 −6 µC의 전하가 6 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하의 중점에서 3 cm 떨어진 수직 이등분선 위에 있다. P에서의 전기장 크기 E을(를) 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +6 µCq₂ = −6 µCd = 6 cmh = 3 cm

E = N/C

3.저항의 직렬·병렬보통

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

4.저항의 직렬·병렬어려움

전원이 공급하며 R₁에 흐르는 전류 I_R1을(를) 구하시오.

V₁ = 36 VR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 20 Ω

I_R1 = A

5.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. 회로가 정상 상태에 도달한 뒤 인덕터에 저장된 에너지 W(∞)을(를) mJ로 구하시오.

V_s = 5 VR = 20 ΩL = 22 mH

W(∞) = mJ

6.RC·RL 과도 현상어려움

타이머가 t = 0에 12 V 전원에서 저항을 통해 충전되지 않은 커패시터를 충전하기 시작한다. 타이머는 시작 후 정확히 20 ms에 커패시터 전압이 10.8 V에 도달할 때 작동해야 한다. C = 4.7 µF일 때 필요한 저항 R을(를) 구하시오.

V_s = 12 VV_th = 10.8 VT = 20 msC = 4.7 µF

R = kΩ

7.자기장과 유도보통

양성자이(가) 종이 밖으로을(를) 향하는 균일한 자기장 속에서 종이 위쪽(으)로 움직인다. 그것에 작용하는 자기력의 방향을 클릭하세요.

v: 종이 위쪽B: 종이 밖으로

1종이 위쪽
2오른쪽
3종이 아래쪽
4왼쪽

8.자기장과 유도어려움

양성자이(가) 정지 상태에서 출발해 10000 V의 전위차로 가속된 뒤 세기 0.1 T의 균일한 자기장에 직각으로 들어간다. 자기장 속에서 경로의 반지름 r을(를) 구하시오.

m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 10000 VB = 0.1 T

r = cm

9.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 100 V (실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 20 mHC = 100 µF

I = A

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로가 24 V (실효값), 50 Hz 전원에 연결되어 있다. 커패시터 양단 실효 전압 V_C을(를) 구하시오.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 200 mHC = 47 µF

V_C = V

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: E = 2.841 × 10⁶ N/C

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

각 전하의 전기장

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0.075² = 3.196 × 10⁶ N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0.225² = 355160 N/C

방향과 합

두 전하가 모두 양전하입니다: P에서 각 전기장은 자기 전하에서 멀어지는 방향, 즉 서로 반대 방향을 향합니다.

E = |3.196 × 10⁶ − 355160| = 2.841 × 10⁶ N/C

답

E = 2.841 × 10⁶ N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: E = 4.238 × 10⁷ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

한 전하의 거리와 전기장

r = √(3² + 3²) = 4.243 cm

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0.04243² = 2.997 × 10⁷ N/C

성분

이등분선 방향의 성분은 상쇄됩니다.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·2.997 × 10⁷·0.7071 = 4.238 × 10⁷ N/C

답

E = 4.238 × 10⁷ N/C

전기장은 양전하에서 음전하로 향하는 선에 평행합니다.

3.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 21.64 Ω

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 4 + 5 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 2·9/(2+9) = 1.636 Ω

R_eq = R₁ + 1.636 = 20 + 1.636 = 21.64 Ω

답

R_eq = 21.64 Ω

4.저항의 직렬·병렬

답: I_R1 = 1.934 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 2 + 20 = 22 Ω

R₄ ∥ 22 = 12.69 Ω

R₃ + 12.69 = 37.69 Ω

R₂ ∥ 37.69 = 3.616 Ω

R_eq = R₁ + 3.616 = 15 + 3.616 = 18.62 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/18.62 = 1.934 A

답

I_R1 = 1.934 A

5.RC·RL 과도 현상

답: W(∞) = 0.6875 mJ

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 22 mH / 20 Ω = 1.1 ms

i(∞) = V_s/R = 5/20 = 0.25 A

저장된 에너지

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·22·0.25² = 0.6875 mJ

답

W(∞) = 0.6875 mJ

6.RC·RL 과도 현상

답: R = 1.848 kΩ

필요한 시정수

10.8 = 12·(1 − e^−20/τ) → τ = 20/ln(12/(12 − 10.8))

τ = 20/2.303 = 8.686 ms

저항

kΩ × µF는 밀리초입니다.

R = τ/C = 8.686/4.7 = 1.848 kΩ

답

R = 1.848 kΩ

7.자기장과 유도

답: 오른쪽

자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

오른손 법칙

손가락을 전류나 속도 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리세요. 엄지가 양전하에 작용하는 힘의 방향입니다.

v: 종이 위쪽, B: 종이 밖으로

힘의 방향

오른쪽

답

F: 오른쪽

8.자기장과 유도

답: r = 14.45 cm

가속 뒤의 속력

v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·10000/(1.673 × 10⁻²⁷)) = 1.384 × 10⁶ m/s

자기장 속의 반지름

r = mv/(|q|B) = 0.1445 m = 14.45 cm

답

r = 14.45 cm

합치면 r = √(2mV/|q|)/B이므로 전하가 같으면 더 무거운 이온이 더 큰 원을 그립니다. 이렇게 동위원소를 분리합니다.

9.교류 임피던스와 페이저

답: I = 5.032 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.02 = 25.13 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7.958 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (17.17)²) = 19.87 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 100/19.87 = 5.032 A

답

I = 5.032 A

10.교류 임피던스와 페이저

답: V_C = 63.81 V

리액턴스

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.2 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·47·10⁻⁶) = 67.73 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (−4.894)²) = 25.47 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 24/25.47 = 0.9421 A

커패시터 전압

V_C = I·X_C = 0.9421·67.73 = 63.81 V

답

V_C = 63.81 V

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