물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+3 µC인 전하와 +2 µC인 전하가 50 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하를 잇는 선분 위에 있으며 첫 번째 전하로부터 30 cm 떨어져 있다. P에서 전기장의 크기 E을(를) 구하시오.

q₁ = +3 µCq₂ = +2 µCr₁ = 30 cmr₂ = 20 cm

E = N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

질량이 각각 3 g인 똑같은 작은 공 두 개가 같은 점에서 길이 30 cm의 절연 실에 매달려 있다. 두 공에 같은 전하를 주자 각 실이 연직에서 5°인 곳에서 멈춘다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 각 공의 전하 q을(를) nC로 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 3 gL = 30 cmθ = 5°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.저항의 직렬·병렬보통

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 6 VR₁ = 3 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

4.저항의 직렬·병렬어려움

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 18 VR₁ = 30 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

5.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. t = 1 ms에서 전류 i을(를) 구하시오.

V_s = 6 VR = 50 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

6.RC·RL 과도 현상어려움

스위치가 오랫동안 닫혀 있었으므로 회로는 정상 상태이다. t = 0에 스위치가 열린다. t = 100 ms에서 커패시터 전압 v_C을(를) 구하시오.

V_s = 24 VR₁ = 10 kΩR₂ = 4.7 kΩC = 10 µFt = 100 ms

v_C = V

7.자기장과 유도보통

길이 30 cm인 금속 막대가 종이 속으로 향하는 세기 0.5 T의 균일한 자기장 속에서 두 레일을 따라 1 m/s로 미끄러진다. 레일은 0.5 Ω 저항으로 연결되어 있고 막대와 레일의 저항은 무시한다. 저항에서 소비되는 전력 P을(를) 구하시오.

B = 0.5 TL = 30 cmv = 1 m/sR = 0.5 Ω

P = mW

8.자기장과 유도어려움

5 mH 인덕터의 전류가 2 ms 동안 0.5 A에서 3.5 A로 일정하게 변한다. 자체 유도 기전력의 크기 ε을(를) 구하시오.

L = 5 mH0.5 A → 3.5 AΔt = 2 ms

ε = V

9.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 100 V (실효값), 500 Hz 전원에 연결되어 있다. 회로의 역률 cos φ을(를) 구하시오.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 10 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF

cos φ =

10.교류 임피던스와 페이저어려움

저항 R₁이(가) R₂와(과) 커패시터 C의 병렬 조합과 직렬로 연결되어 120 V(실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 크기 |Z|을(를) 구하시오.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩC = 47 µF

|Z| = Ω

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: E = 149833 N/C

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

각 전하의 전기장

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0.3² = 299667 N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0.2² = 449500 N/C

방향과 합

두 전하가 모두 양전하입니다: P에서 각 전기장은 자기 전하에서 멀어지는 방향, 즉 서로 반대 방향을 향합니다.

E = |299667 − 449500| = 149833 N/C

답

E = 149833 N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: q = 27.99 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

평형에서 구한 전기력

장력의 수평 성분은 F와, 수직 성분은 m·g와 평형을 이룹니다.

F = m·g·tan θ = 0.003·9.81·tan 5° = 0.002575 N

두 공 사이의 거리

r = 2·L·sin θ = 2·0.3·sin 5° = 0.05229 m

전하

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.05229·√(0.002575/8.99 × 10⁹) = 2.799 × 10⁻⁸ C = 27.99 nC

답

q = 27.99 nC

3.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 7.8 Ω

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 10 + 2 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 8·12/(8+12) = 4.8 Ω

R_eq = R₁ + 4.8 = 3 + 4.8 = 7.8 Ω

답

R_eq = 7.8 Ω

4.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 34.3 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 20 + 8 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 13.21 Ω

R₃ + 13.21 = 15.21 Ω

R₂ ∥ 15.21 = 4.302 Ω

R_eq = R₁ + 4.302 = 30 + 4.302 = 34.3 Ω

답

R_eq = 34.3 Ω

5.RC·RL 과도 현상

답: i = 0.07858 A

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 47 mH / 50 Ω = 0.94 ms

i(∞) = V_s/R = 6/50 = 0.12 A

주어진 시각의 전류

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.12·(1 − e^−1/0.94) = 0.07858 A

답

i = 0.07858 A

6.RC·RL 과도 현상

답: v_C = 0.914 V

초기 커패시터 전압

정상 상태에서 커패시터는 개방 회로이므로 R₁과 R₂가 전압 분배기를 이룹니다. 스위치가 열릴 때 커패시터 전압은 급변할 수 없습니다.

v_C(0) = 24·4.7/(10 + 4.7) = 7.673 V

스위치가 열린 뒤의 시정수

τ = R₂·C = 4.7·10 = 47 ms

방전

v_C(t) = 7.673·e^−100/47 = 0.914 V

답

v_C = 0.914 V

7.자기장과 유도

답: P = 45 mW

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

운동 기전력

ε = BLv = 0.5·0.3·1 = 0.15 V

전류

I = ε/R = 0.15/0.5 = 0.3 A

전력

P = εI = 0.15·0.3 = 0.045 W

답

P = 45 mW

8.자기장과 유도

답: ε = 7.5 V

자체 유도 기전력

기전력은 전류의 변화를 방해하므로(렌츠) 부호는 ΔI와 반대이고, 크기는 L·|ΔI|/Δt입니다.

ε = L·ΔI/Δt = 0.005·3/0.002 = 7.5 V

답

ε = 7.5 V

9.교류 임피던스와 페이저

답: cos φ = 0.1213

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

X_L = 62.83 Ω, X_C = 144.7 Ω

임피던스

|Z| = √(10² + (−81.85)²) = 82.46 Ω

역률

cos φ = R/|Z| = 10/82.46 = 0.1213

회로가 용량성이므로 역률은 진상입니다.

답

cos φ = 0.1213

10.교류 임피던스와 페이저

답: |Z| = 30.02 Ω

리액턴스

X_C = 1/(2π·200·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω

병렬 조합

분자와 분모에 켤레 복소수를 곱해 Z_p를 실수부와 허수부로 나누세요.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 8.35 − j9.863 Ω

전체 임피던스

Z = 20 + 8.35 − j9.863 = 28.35 − j9.863 Ω

|Z| = √(28.35² + 9.863²) = 30.02 Ω

답

|Z| = 30.02 Ω

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