쿨롱 법칙과 전기장
- 쿨롱 법칙
- F = k·|q1q2|/r²
- 점전하의 전기장
- E = k·|q|/r²
- 상수
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 전하가 받는 힘
- F = q·E
물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
저항의 직렬·병렬
- 저항의 직렬 연결
- Req = R1 + R2 + …
- 저항의 병렬 연결
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 두 저항의 병렬
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 옴의 법칙
- V = I·R
- 전력
- P = V·I = I²R = V²/R
방법
- 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
- 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
- 단계마다 회로를 다시 그리세요.
- 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.
RC·RL 과도 현상
- 시정수
- τ = RC | τ = L/R
- 응답
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 직류에서의 커패시터
- 개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
- 직류에서의 인덕터
- 단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
- 정상 상태 값
- t ≈ 5τ
방법
- 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
- 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
- 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.
자기장과 유도
- 긴 직선 도선
- B = μ0I/(2πr)
- 평평한 코일의 중심
- B = μ0NI/(2R)
- 긴 솔레노이드
- B = μ0nI, n = N/L
- 상수
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 도선에 작용하는 힘
- F = BIL·sin θ
- 전하가 받는 힘
- F = |q|vB·sin θ
- 원운동
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 평행한 도선
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 선속
- Φ = BA·cos θ
- 패러데이 법칙
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 움직이는 막대
- ε = BLv
- 발전기
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 인덕턴스
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 상호 인덕턴스
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 속도 선택기와 질량 분석기
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
방법
- 모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
- 올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
- 유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
- 방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.
교류 임피던스와 페이저
- 임피던스
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 각주파수
- ω = 2πf
- 크기와 위상각
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 페이저 옴의 법칙
- V = I·Z
방법
- 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
- 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
- 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
- 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.
2연습 문제
1.쿨롱 법칙과 전기장보통
+8 µC인 전하와 −2 µC인 전하가 50 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하를 잇는 선분 위에 있으며 첫 번째 전하로부터 25 cm 떨어져 있다. P에서 전기장의 크기 E을(를) 구하시오.
q1 = +8 µCq2 = −2 µCr1 = 25 cmr2 = 25 cm
E = N/C
2.쿨롱 법칙과 전기장어려움
질량이 각각 2 g인 똑같은 작은 공 두 개가 같은 점에서 길이 60 cm의 절연 실에 매달려 있다. 두 공에 같은 전하를 주자 각 실이 연직에서 15°인 곳에서 멈춘다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 각 공의 전하 q을(를) nC로 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
m = 2 gL = 60 cmθ = 15°g = 9.81 m/s²
q = nC
3.저항의 직렬·병렬보통
전원 V1이(가) 보는 합성 저항 Req을(를) 구하시오.
V1 = 30 VR1 = 2 ΩR2 = 20 ΩR3 = 20 ΩR4 = 10 Ω
Req = Ω
4.저항의 직렬·병렬어려움
전원이 공급하며 R1에 흐르는 전류 IR1을(를) 구하시오.
V1 = 6 VR1 = 15 ΩR2 = 10 ΩR3 = 6 ΩR4 = 20 ΩR5 = 30 ΩR6 = 2 Ω
IR1 = A
5.RC·RL 과도 현상보통
인덕터에 2 A의 정상 전류가 흐른다. t = 0에 스위치가 R을 통한 루프를 닫고 전원이 제거되어, 인덕터 전류는 R을 통해 감쇠한다. 전류가 0.2 A로 떨어지는 데 얼마나 걸리는가? t을(를) 구하시오.
i(0) = 2 AR = 20 ΩL = 68 mH
t = ms
6.RC·RL 과도 현상어려움
타이머가 t = 0에 5 V 전원에서 저항을 통해 충전되지 않은 커패시터를 충전하기 시작한다. 타이머는 시작 후 정확히 20 ms에 커패시터 전압이 4 V에 도달할 때 작동해야 한다. C = 22 µF일 때 필요한 저항 R을(를) 구하시오.
Vs = 5 VVth = 4 VT = 20 msC = 22 µF
R = kΩ
7.자기장과 유도보통
4 cm 떨어진 긴 평행 도선 두 개에 서로 반대 방향으로 8 A와 30 A의 전류가 흐른다. 두 도선 사이에 작용하는 단위 길이당 힘 F/L을(를) 구하시오.
I1 = 8 AI2 = 30 Ad = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
F/L = µN/m
8.자기장과 유도어려움
속도 선택기에서 서로 수직인 장 E = 5 × 10⁴ V/m와 B = 0.05 T는 한 속력의 이온만 직진하게 한다. 그 속력 v을(를) 구하시오.
E = 5 × 10⁴ V/mB1 = 0.05 T
v = m/s
9.교류 임피던스와 페이저보통
직렬 RLC 회로가 50 V (실효값), 500 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.
V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 150 mHC = 4.7 µF
I = A
10.교류 임피던스와 페이저어려움
저항 R1이(가) R2와(과) 커패시터 C의 병렬 조합과 직렬로 연결되어 230 V(실효값), 50 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.
V = 230 V (rms)f = 50 HzR1 = 25 ΩR2 = 150 ΩC = 47 µF
I = A
3용액
1.쿨롱 법칙과 전기장
답: E = 1.438 × 10⁶ N/C
쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.
각 전하의 전기장
E1 = k·8 × 10⁻⁶/0.25² = 1.151 × 10⁶ N/C
E2 = k·2 × 10⁻⁶/0.25² = 287680 N/C
방향과 합
첫 번째 전기장은 양전하에서 멀어지는 방향, 두 번째 전기장은 음전하 쪽을 향하므로 두 전기장의 방향이 같습니다.
E = |1.151 × 10⁶ + 287680| = 1.438 × 10⁶ N/C
답
E = 1.438 × 10⁶ N/C
2.쿨롱 법칙과 전기장
답: q = 237.5 nC
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
평형에서 구한 전기력
장력의 수평 성분은 F와, 수직 성분은 m·g와 평형을 이룹니다.
F = m·g·tan θ = 0.002·9.81·tan 15° = 0.005257 N
두 공 사이의 거리
r = 2·L·sin θ = 2·0.6·sin 15° = 0.3106 m
전하
F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.3106·√(0.005257/8.99 × 10⁹) = 2.375 × 10⁻⁷ C = 237.5 nC
답
q = 237.5 nC
3.저항의 직렬·병렬
답: Req = 14 Ω
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
먼 쪽 끝부터 저항 합치기
전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R3 + R4 = 20 + 10 = 30 Ω
R2 ∥ 30 = 20·30/(20+30) = 12 Ω
Req = R1 + 12 = 2 + 12 = 14 Ω
답
Req = 14 Ω
4.저항의 직렬·병렬
답: IR1 = 0.2795 A
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
먼 쪽 끝부터 저항 합치기
전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R5 + R6 = 30 + 2 = 32 Ω
R4 ∥ 32 = 12.31 Ω
R3 + 12.31 = 18.31 Ω
R2 ∥ 18.31 = 6.467 Ω
Req = R1 + 6.467 = 15 + 6.467 = 21.47 Ω
전원 전류
전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.
IR1 = V1/Req = 6/21.47 = 0.2795 A
답
IR1 = 0.2795 A
5.RC·RL 과도 현상
답: t = 7.829 ms
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
시정수
τ = L/R = 68 mH / 20 Ω = 3.4 ms
시간에 대해 풀기
0.2 = 2·e−t/τ → t = τ·ln(2/0.2)
t = 3.4·ln(10) = 7.829 ms
답
t = 7.829 ms
6.RC·RL 과도 현상
답: R = 0.5648 kΩ
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
필요한 시정수
4 = 5·(1 − e−20/τ) → τ = 20/ln(5/(5 − 4))
τ = 20/1.609 = 12.43 ms
저항
kΩ × µF는 밀리초입니다.
R = τ/C = 12.43/22 = 0.5648 kΩ
답
R = 0.5648 kΩ
7.자기장과 유도
답: F/L = 1200 µN/m
자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
단위 길이당 힘
F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·8·30/0.04 = 1200 µN/m
답
F/L = 1200 µN/m
반대 방향의 전류는 서로 밀어냅니다.
8.자기장과 유도
답: v = 1 × 10⁶ m/s
자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
선택된 속력
휘지 않음: 전기력 qE가 자기력 qvB와 균형을 이룹니다.
v = E/B1 = 5 × 10⁴/0.05 = 1 × 10⁶ m/s
답
v = 1 × 10⁶ m/s
9.교류 임피던스와 페이저
답: I = 0.1215 A
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.15 = 471.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·4.7·10⁻⁶) = 67.73 Ω
임피던스
직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (403.5)²) = 411.4 Ω
전류
직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.
I = V/|Z| = 50/411.4 = 0.1215 A
답
I = 0.1215 A
10.교류 임피던스와 페이저
답: I = 3.045 A
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
XC = 1/(2π·50·47·10⁻⁶) = 67.73 Ω
병렬 조합
분자와 분모에 켤레 복소수를 곱해 Zp를 실수부와 허수부로 나누세요.
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 25.4 − j56.26 Ω
전체 임피던스
Z = 25 + 25.4 − j56.26 = 50.4 − j56.26 Ω
|Z| = √(50.4² + 56.26²) = 75.53 Ω
전류
I = V/|Z| = 230/75.53 = 3.045 A
답
I = 3.045 A
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